δυο ολοκληρώματα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 253
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

δυο ολοκληρώματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Δευ Απρ 27, 2009 7:23 pm

Δυο ολοκληρώματα απο την σημερινή μας πρόοδο

\displaystyle I_{1}=\int \frac{\arctan (x+1)}{(x+1)^{3}}dx

\displaystyle I_{2}=\int \frac{\arcsin x}{x^{3}}dx


Γιάννης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: δυο ολοκληρώματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Απρ 27, 2009 8:31 pm

\displaystyle{I}_{1}=\int{\frac{\arctan(x+1)}{(x+1)^{3}}\,dx}\,\mathop{=}\limits^{t\,=x+1}\,\int{\frac{\arctan{t}}{t^3}\,dt}=\int{\left({-\frac{1}{2t^2}}\right)^{\prime}\arctan{t}\,dt}=

\displaystyle-\frac{\arctan{t}}{2t^2}+\int{\frac{1}{2t^2}\left({\arctan{t}}\right)^{\prime}\,dt}=-\frac{\arctan{t}}{2t^2}+\int{\frac{1}{2t^2}\,\frac{1}{1+t^2}\,dt}=

\displaystyle-\frac{\arctan{t}}{2t^2}+\int{\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2\left({1+t^2}\right) }\,dt}=-\frac{\arctan{t}}{2t^2}+\int{\frac{1}{2t^2}\,dt}-\int{\frac{1}{2\left({1+t^2}\right) }\,dt}=

\displaystyle-\frac{\arctan{t}}{2t^2}-\frac{1}{2t}-\frac{1}{2}\arctan{t}+c\,\mathop{=}\limits^{t\,=x+1}

\displaystyle-\frac{\arctan(x+1)}{2\,(x+1)^2}-\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2}\arctan(x+1)+c.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12435
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: δυο ολοκληρώματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Απρ 27, 2009 8:38 pm

Γρηγόρη,

παλαιότερα έλεγα ότι αν θέλεις να εξετάσεις κατά πόσο βγαίνει ένα ολοκλήρωμα,
δώσε το στον Σταύρο Γιωτόπουλο (Καθηγητή στο Μαθηματικό Αθηνών και συν-συγγραφέα με τον Νεγρεπόντη και λοιπά του βιβλίου Απειροστικού). Αν δεν το βγάλει ο Σταύρος, τότε δεν βγαίνει το ολοκλήρωμα. Αν βγαίνει, τότε θα το βγάλει ο Σταύρος.

Τώρα αλλάζω τον αφορισμό μου και θα λέω "δώσε το στον Σταύρο ή στον Γρηγόρη".

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: δυο ολοκληρώματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Απρ 27, 2009 9:10 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:παλαιότερα έλεγα ότι αν θέλεις να εξετάσεις κατά πόσο βγαίνει ένα ολοκλήρωμα,
δώσε το στον Σταύρο Γιωτόπουλο (Καθηγητή στο Μαθηματικό Αθηνών και συν-συγγραφέα με τον Νεγρεπόντη και λοιπά του βιβλίου Απειροστικού). Αν δεν το βγάλει ο Σταύρος, τότε δεν βγαίνει το ολοκλήρωμα. Αν βγαίνει, τότε θα το βγάλει ο Σταύρος. Τώρα αλλάζω τον αφορισμό μου και θα λέω "δώσε το στον Σταύρο ή στον Γρηγόρη".
Μιχάλη, νά σέ ευχαριστήσω γιά τό "μεγαλείο καρδιάς", αλλά απέχει πολύ από τήν πραγματικότητα πού περιγράφεις. Απλώς προέκυψαν κάποια ολοκληρώματα πού έπρεπε νά επιλύσω καί μερικά από αυτά, αφού θεώρησα ότι έχουν κάποιο ενδιαφέρον, τά δημοσίευσα στό mathematica.

Νάσαι πάντα καλά.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: δυο ολοκληρώματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Απρ 27, 2009 9:46 pm

\displaystyle{I}_{2}=\int{\frac{\arcsin{x}}{x^3}\,dx}=\int{\left({-\frac{1}{2x^2}}\right)^{\prime}\arcsin{x}\,dx}=-\frac{\arcsin{x}}{2x^2}+\int{\frac{1}{2x^2}\left({\arcsin{x}}\right)^{\prime}\,dx}=

\displaystyle-\frac{\arcsin{x}}{2x^2}+\int{\frac{1}{2x^2\,\sqrt{1-x^2}}\,dx}\,\mathop{=}\limits^{\begin{subarray}{c} 
   {x\,=\,\sin{\theta}}  \\ 
   {dx\,=\,\cos{\theta}\,d\theta}  \\ 
\end{subarray}}\,-\frac{\arcsin{x}}{2x^2}+\int{\frac{\cos{\theta}}{2\,\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}}\,d\theta}=

\displaystyle-\frac{\arcsin{x}}{2x^2}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sin^2{\theta}}\,d\theta}=-\frac{\arcsin{x}}{2x^2}-\frac{\cot{\theta}}{2}\,+c=

\displaystyle-\frac{\arcsin{x}}{2x^2}-\frac{\cos{\theta}}{2\,\sin{\theta}}\,+c\,\mathop{=}\limits^{x\,=\,\sin{\theta}}\,-\frac{\arcsin{x}}{2x^2}-\frac{\sqrt{1-x^2}}{2x}+c\,.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες