Διδακτικό ολοκλήρωμα.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Απρ 28, 2009 8:26 pm

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα :
\displaystyle{ 
\int\limits_0^\pi  {\frac{1} 
{{1 + 2\sin ^2 x}}} dx 
}.
Τι παρατηρείτε;
Υπάρχει λάθος;


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12435
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 28, 2009 8:55 pm

chris_gatos έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα :
\displaystyle{\displaystyle  
\int\limits_0^\pi  {\frac{1} 
{{1 + 2\sin ^2 x}}} dx 
}.
Τι παρατηρείτε;
Υπάρχει λάθος;
Χρήστο, λάθος σε τί;

Εννοείς, αν το υπολογίσω άκριτα; Π.χ. με την στάνταρ μέθοδο
t = εφ(x/2) , που στην προκειμένη περίπτωση απαγορεύεται γιατί
περνά από το μη οριζόμενο εφ(π/2);

Φιλικά,

Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Απρ 28, 2009 9:06 pm

Ενοούσα ακριβώς αυτό. Πως θα μπορούσε κάποιος να το υπολογίσει άκριτα και να καταλήξει σε αποτέλεσμα μηδέν.
Όμως θα παρατηρούσε πως
1)\displaystyle{\displaystyle  
\pi  \ne 0 
}.

2)\displaystyle{\displaystyle  
\frac{1} 
{{1 + \sin ^2 x}} > 0,\forall x \in \left[ {0,\pi } \right] 
}
contradiction!
Πόσες φορές κάνουμε αντικαταστάσεις , σκεπτόμενοι και αυτήν την παράμετρο;(τη συνέχεια της παράγουσας στο διάστημα ολοκλήρωσης;)
Εγω πάντως δεν το κάνω συχνά (θα το κάνω όμως απο εδώ και πέρα!)


Χρήστος Κυριαζής
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τρί Απρ 28, 2009 11:34 pm

chris_gatos έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα :
\int\limits_0^\pi  {\frac{1} 
{{1 + 2\sin ^2 x}}} dx.
Χρήστο, έχεις αποτέλεσμα για το ολοκλήρωμα;
\displaystyle 2\left(\frac{\pi}{4}-a \right) με tan(a)=-3;
...μάλλον λάθος κάνω! Ο υπολογισμός μου είναι πολύπλοκος!


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Απρ 28, 2009 11:52 pm

Θα υπολογίσω το αόριστο (λίιιγο λιγότερη πληκτρολόγηση)
\displaystyle{\displaystyle  
\int {\frac{1} 
{{1 + 2\sin ^2 x}}} dx = \int {\frac{1} 
{{3 - 2\cos ^2 x}}dx\mathop  = \limits^{\cos ^2 x = \frac{1} 
{{1 + \tan ^2 x}}} } \int {\frac{{1 + \tan ^2 x}} 
{{1 + 3\tan ^2 x}}} dx = \int {\frac{1} 
{{1 + 3\tan ^2 x}}} \frac{1} 
{{\cos ^2 x}}dx 
}
Απ'όπου θέτοντας tanx=u προκύπτει
\displaystyle{\displaystyle  
\int {\frac{1} 
{{1 + 3u^2 }}} du = \frac{1} 
{{\sqrt 3 }}\arctan (\sqrt 3 u) + c = \frac{1} 
{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\sqrt 3 \tan x} \right) + c 
}.
Χωρίς maple και τα συναφή! ( ακόμη το αγνοώ)
Για το ορισμένο, νομίζω πως τώρα τα πράγματα είναι απλά και φαίνεται και το λάθος ( τουλάχιστον έτσι νομίζω!!)


Χρήστος Κυριαζής
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τετ Απρ 29, 2009 11:48 am

Χρήστο,
εφόσον το x είναι στο [0,π] έχεις δικαίωμα στην αντικατάσταση που κάνεις;
Θα γράψω, όταν βρω λίγο χρόνο, τον υπολογισμό μου.


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Απρ 29, 2009 2:37 pm

Kώστα καλησπέρα! Φυσικά και δεν έχω το δικαίωμα της αντικατάστασης...Άλλωστε αν κοιτάξεις την εκφώνηση ρωτάω:
Τι παρατηρείτε; Είναι λάθος;
Αυτό το νόημα είχε η,κατά κάποιον τρόπο,άσκηση. Να υποδείξει πως πρέπει και να ελέγχουμε με τι αντικαθιστούμε.
Αλλά δεν καταλαβαίνω, γιατί μπερδεύτηκες;
Υ.Γ Τώρα κατάλαβα, γιατί μπερδεύτηκες...(ή νομίζω πως κατάλαβα) Το ολοκλήρωμα φυσικά και υπολογίζεται...
Άλλά με άλλο τρόπο. Ναι αλλά εγώ ρωτώντας αυτό είχα στο μυαλό μου τη συγκεκριμένη αντικατάσταση και νομίζω πως αρκετοί λύτες θα κατευθύνονταν σε αυτή.


Χρήστος Κυριαζής
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τετ Απρ 29, 2009 3:05 pm

chris_gatos έγραψε:Υ.Γ Τώρα κατάλαβα, γιατί μπερδεύτηκες...(ή νομίζω πως κατάλαβα) Το ολοκλήρωμα φυσικά και υπολογίζεται...
Άλλά με άλλο τρόπο. Ναι αλλά εγώ ρωτώντας αυτό είχα στο μυαλό μου τη συγκεκριμένη αντικατάσταση και νομίζω πως αρκετοί λύτες θα κατευθύνονταν σε αυτή.
Χρήστο, ναι. Κατάλαβα το λάθος που μπορεί να κάνει κάποιος και ότι αυτό ήταν το νόημα της άσκησης,
αλλά
για να υπολογίσω το ολοκλήρωμα, με σωστό βέβαια τρόπο, κάνω συνεχείς αντικαταστάσεις και το ανάγω σε υπολογισμό παρόμοιου ολοκληρώματος στο \displaystyle \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right].
Ρώτησα στο προηγούμενο μήνυμά μου αν έχεις αποτέλεσμα, για να επαληθεύσω το δικό μου.
Αν κατάλαβα καλά, δεν πρέπει να έχεις.

Συγνώμη για το "μπέρδεμα".


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Απρ 29, 2009 3:12 pm

Kώστα , όντως δεν έχω, αλλά θα το ψάξω !! Μη ζητάς συγνώμη, γι'αυτό βάζω οτι βάζω...Για να κάνουμε μαθηματικό διάλογο. Το απόγευμα θα βάλω το κεφάλι κάτω και θα ψάξω κι εγώ... Καλό μεσημέρι, προς το παρόν!


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12435
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 29, 2009 4:09 pm

k-ser έγραψε: Χρήστο, ναι. Κατάλαβα το λάθος που μπορεί να κάνει κάποιος και ότι αυτό ήταν το νόημα της άσκησης,
αλλά
για να υπολογίσω το ολοκλήρωμα, με σωστό βέβαια τρόπο, κάνω συνεχείς αντικαταστάσεις και το ανάγω σε υπολογισμό παρόμοιου ολοκληρώματος στο \displaystyle \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]

Ίσως ο ευκολότερος τρόπος είναι να πούμε ότι το αρχικό ολοκλήρωμα, από 0 έως π,
είναι δύο φορές το ίδιο ολοκλήρωμα από 0 έως π/2 (βάλε ψ = π -χ).
Τώρα, το ολοκλήρωμα από 0 έως π/2 υπολογίζεται εύκολα με την στάνταρ αλλαγή μεταβλητής t = εφ(x/2), όπως είδαμε παραπάνω.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Απρ 29, 2009 4:41 pm

Μιας και είμαστε στον τομέα των Α.Ε.Ι.: Τα ολοκληρώματα που λύνονται με την αντικατάσταση t = \tan{\theta/2}, συνήθως λύνονται και με το Cauchy's Residue Theorem. Παράδειγμα:

\displaystyle \int_0^{\pi} \frac{d\theta}{1 + 2\sin^2{\theta}} = \int_0^{\pi} \frac{d\theta}{2 - \cos{2\theta}} = \int_{\mathcal{C}}\frac{dz}{iz\left(2 - \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z} \right) \right)}

όπου έκανα την αντικατάσταση z = e^{2i \theta}. Άρα

\displaystyle \int_0^{\pi} \frac{d\theta}{1 + 2\sin^2{\theta}} = 2i \int_{\mathcal{C}}\frac{dz}{z^2 - 4z + 1} = -4\pi Res\left(\frac{1}{z^2 - 4z + 1}; 2 - \sqrt{3} \right).

(Οι ρίζες του z^2 - 4z + 1 είναι οι 2 \pm \sqrt{3}. H 2 - \sqrt{3} βρίσκεται μέσα στην μοναδιαία μπάλα και η 2 + \sqrt{3} όχι.)

Άρα

\displaystyle \int_0^{\pi} \frac{d\theta}{1 + 2\sin^2{\theta}} = -4\pi \frac{1}{(2-\sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})} = \frac{\pi \sqrt{3}}{3}.

(Χρησιμοποιώ ότι για κάθε αναλυτική συνάρτηση g έχουμε Res\left( \frac{g(z)}{z-a};a\right) = g(a).)

Ελπίζω να μην έχω κάνει πουθενά λάθος.


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τετ Απρ 29, 2009 10:44 pm

\displaystyle \int_0^{\pi} \frac{dx}{1 + 2\sin^2{x}} = \int_0^{\pi} \frac{dx}{2 - \cos{2x}} =

=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}  \frac{dx}{2 - \cos{2x}}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}  \frac{dx}{2 - \cos{2x}} = (κάνοντας αντικατάσταση στο δεύτερο ολοκλήρωμα: x=\pi-u )

=\displaystyle 2\left( \int_0^{\frac{\pi}{2}}  \frac{dx}{2 - \cos{2x}}\right)= (κάνοντας αντικατάσταση \displaystyle x=\frac{\pi}{4}-u)

=\displaystyle 2\left( \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}  \frac{dx}{2 - \sin{2x}}\right) = \displaystyle 2\left( \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}  \frac{dx}{2 - \frac{2\tan{x}}{1+\tan^2 {x}}}\right) = \displaystyle  \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}  \frac{1+\tan^2{x}}{1 - \tan{x}+\tan^2 {x}}dx = (αντικατάσταση \tan{x}=u )=

=\displaystyle  \int_{-1}^1  \frac{1}{1 - u+u^2 }du=\displaystyle  \int_{-1}^1  \frac{1}{\left(u-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} }du= (αντικατάσταση \left(u-\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan{x} ) =

=\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}\frac{2\sqrt{3}}{3}dx

=\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{3}


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Διδακτικό ολοκλήρωμα.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Απρ 29, 2009 10:50 pm

Mπράβο Κώστα !...Δε μπόρεσα να συνδράμω, περισσότερο για οικογενειακούς λόγους.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης