Κλειστά και ανοικτά σύνολα

kwstas12345 · #1

Mια άσκηση που μου άρεσε :εστω τα ανοικτά υποσύνολα $\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n},...$ του $\displaystyle \mathbb{C}$ .

i) Nα αποδείξετε πως το $\displaystyle \bigcup_{j=1}^{\infty}{A_{j}}$ είναι ακοικτό.

ii) Nα αποδείξετε πως το $\displaystyle \bigcap_{j=1}^{k}{A_{j}}$ είναι επίσης ανοικτό. (εδώ κόλλησα)

ii) Nα αποδείξετε πως το $\displaystyle \partial A$ είναι κλειστό.

YΓ:Πρόκειται για άπειρο πλήθος Συνόλων.

#2

kwstas12345 έγραψε: ii) Nα αποδείξετε πως το $\displaystyle \bigcap_{j=1}^{\infty}{A_{j}}$ είναι επίσης ανοικτό. (εδώ κόλλησα)

Κώστα αυτό δεν είναι καλό. Δες πάλι την εκφώνηση. Πρέπει να πρόκειται για πεπερασμένο πλήθος.
Μαυρογιάννης

#3

Ας προσθέσω ότι οι ιδιότητες αυτές είναι κάτι που μαθαίνει κανείς μόλις ξεκινήσει Τοπολογία: Εκεί λαμβάνονται ως μέρος ενός γενικότερου ορισμού, αυτού του Τοπολογικού χώρου, ακριβώς γιατί ισχύουν στα $\mathbb R, \mathbb C$ .
Ευκαιρία να φρεσκάρουν τα μέλη μας τις τοπολογικές τους γνώσεις... Υπέροχος κλάδος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

irakleios · #4

για το ii) Έστω Α και Β δύο ανοικτά σύνολα και έστω x ένα στοιχείο της τομής τους , τότε $x\in\ A$ και $x\in\ B$

άρα υπάρχουν(αφού τα Α,Β ανοικτά) δ και ε θετικά ώστε οι μπάλες Β(δ,x) και Β(x,ε) να περιέχονται(ολόκληρες) στα Α και Β αντίστοιχα.

Επιλέγουμε φ =min(δ , ε) και τότε η μπάλα B(x , φ) θα περιέχεται(ολόκληρη) σην τομή τους , δηλ x εσωτερικό σημείο της τομής και επειδή ήταν τυχόν άρα η τομή είναι ανοικτό σύνολο

kwstas12345 · #5

Αλλη μία ερώτηση: Aν τα $A_{1},A_{2},...$ είναι ανοικτά τότε είναι το $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$ πάντα ανοικτό?

H απάντηση για το πρώτο: Έστω $\displaystyle z \in \bigcup_{j=1}^{\infty}{A_{j}}\Rightarrow \exists i:z\in A_{i}$ και ώς ανοιχτό το $A_{i}$

$\displaystyle \exists \varepsilon >0:B\left(z,\varepsilon \right) \subseteq A_{i}\Rightarrow B\left(z,\varepsilon \right) \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty}{A_{j}}$ , όπως θέλαμε.

Ιστοσελίδα · #6

Αν $A_n = \left (-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\right )$ τότε το A_n

είναι ανοικτό, για κάθε n=1,2, ... .

Όμως $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = \{0\}$ το οποίο είναι κλειστό.

#7

Τα ανοικτά διαστήματα $\displaystyle{\left( { - \frac{1}{n},\frac{1}{n}} \right),}$ $\displaystyle{n = 1,2, \ldots ,}$ είναι ανοικτά υποσύνολα του $\mathbb{R}$ με τη συνήθη τοπολογία, αλλά η τομή τους είναι το μονοσύνολο $\displaystyle{\left\{ 0 \right\}}$ , το οποίο δεν είναι ανοικτό σύνολο, γιατί για κάθε $\displaystyle{\varepsilon > 0}$ είναι $\displaystyle{\left( { - \varepsilon ,\varepsilon } \right) \not\subset \left\{ 0 \right\}.}$

Μόλις είδα ότι ο Στράτης με πρόλαβε...

Κλειστά και ανοικτά σύνολα

Κλειστά και ανοικτά σύνολα

Re: Κλειστά και ανοικτά σύνολα

Re: Κλειστά και ανοικτά σύνολα

Re: Κλειστά και ανοικτά σύνολα

Re: Κλειστά και ανοικτά σύνολα

Re: Κλειστά και ανοικτά σύνολα

Re: Κλειστά και ανοικτά σύνολα

Μέλη σε σύνδεση