Ακολουθία (5)

#1

Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{(2n+1)!}{n!}\right)^{\frac{1}{n}}.$

#2

socrates έγραψε:Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{(2n+1)!}{n!}\right)^{\frac{1}{n}}.$

Χωρίς Stirling:

$\displaystyle{\frac{1}{n}\left(\frac{(2n+1)!}{n!}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\exp\left(\frac{1}{n}\ln\left(\frac{(2n+1)!}{n!}\right)\right)=\frac{1}{n}\exp\left(\frac{1}{n}\ln\prod_{k=1}^{n+1}\left(n+k\right)\right)=}$

$\displaystyle{\frac{1}{n}\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln n\left(1+\frac{k}{n}\right)+\frac{\ln(2n+1)}{n}\right)=\frac{1}{n}\exp\left(\ln n+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)+\frac{\ln(2n+1)}{n}\right)\to \exp\left(\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx\right)=\frac{4}{e}}$ .

Διορθώθηκε. Δάσκαλε ευχαριστώ.

Ακολουθία (5)

Ακολουθία (5)

Re: Ακολουθία (5)

Μέλη σε σύνδεση