Ακολουθία (6)

#1

Δίνεται ακολουθία $\displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1}$ , τέτοια ώστε a_1=2

και $\displaystyle na_{n+1}=(2n+2)(a_n+n2^n), \ n\geq 1$ .

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle {\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n^2]{a_1a_2...a_n}.}$

#2

socrates έγραψε:Δίνεται ακολουθία $\displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1}$ , τέτοια ώστε και $\displaystyle na_{n+1}=(2n+2)(a_n+n2^n), \ n\geq 1$ .

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle {\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n^2]{a_1a_2...a_n}.}$

Από την αναδρομική σχέση παίρνουμε

$\displaystyle{a_{n+1}=a_{n}\frac{2(n+1)}{n}+2^{n+1}(n+1)=\left(a_{n-1}\frac{2n}{n-1}+2^{n}n\right)\frac{2(n+1)}{n}+2^{n+1}(n+1)=a_{n-1}\frac{2^2(n+1)}{n-1}+2\cdot2^{n+1}(n+1)=}$

$\displaystyle{\left(a_{n-2}\frac{2(n-1)}{n-2}+2^{n-1}(n-1)\right)\frac{2^2(n+1)}{n-1}+2\cdot2^{n+1}(n+1)=a_{n-2}\frac{2^{3}(n+1)}{n-2}+3\cdot2^{n+1}(n+1)=}$

$\displaystyle{\vdots}$

$\displaystyle{a_{1}\frac{2^{n}(n+1)}{1}+n\cdot2^{n+1}(n+1)=2^{n+1}(n+1)^2}$ , άρα $\displaystyle{a_{n}=2^{n}n^2}$ και συνεπώς

$\displaystyle{\left(\prod_{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n^2}=\left(2^{n(n+1)/2}(n!)^2\right)^{1/n^2}=\exp\left(\frac{n(n+1)}{n^2}\ln\sqrt{2}+\frac{2}{n^2}\ln n!\right)=}$

$\displaystyle{\exp\left(\frac{n(n+1)}{n^2}\ln\sqrt{2}+\frac{2}{n}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\frac{k}{n}\right)+\frac{2\ln n}{n}\right)\to\sqrt{2}}$ .

Ακολουθία (6)

Ακολουθία (6)

Re: Ακολουθία (6)

Μέλη σε σύνδεση