ακολουθια

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

tsaknakis
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 6:57 pm

ακολουθια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tsaknakis » Παρ Μαρ 04, 2011 10:09 pm

Να βρεθει το οριο της ακολουθιας a_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot\frac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\cdot\cdot\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ακολουθια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Παρ Μαρ 04, 2011 10:30 pm

απέσυρα την λύση μετά από υπόδειξη του Δημήτρη γιατί ήταν λάθος
τελευταία επεξεργασία από Καρδαμίτσης Σπύρος σε Παρ Μαρ 04, 2011 10:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ακολουθια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 04, 2011 10:36 pm

Σπύρο υπάρχει λάθος στην λογική (και στην τελική απάντηση).

Για παράδειγμα αν \displaystyle{ b_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{n-1}{n}}

Τότε \frac{n-1}{n} \to 1 αλλά b_n \to 0.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11157
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ακολουθια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 04, 2011 10:59 pm

tsaknakis έγραψε:Να βρεθει το οριο της ακολουθιας a_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot\frac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\cdot\cdot\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}
Το γινόμενο είναι τηλεσκοπικό: γράφοντας τον τυπικό αριθμητή
ως (n-1)(n^2+n+1) και τον παρονομαστή ως (n+1)(n^2-n+1) εύκολα βλέπουμε ότι ο δευτεροβάθμιος παράγοντας του αριθμητή απλοποιείται με τον δευτεροβάθμιο του επόμενου όρου στον παρονομαστή. Πράγματι, ο τελευταίος είναι (n+1)^2-(n+1)+1= n^2+n+1, όσο θέλαμε.

Το γινόμενο τελικά ισούται

\frac {1\cdot7}{3\cdot3}\cdot\frac {2\cdot13}{4\cdot7} \cdot\frac {3\cdot21}{5\cdot 13}\cdot ...\cdot\frac {(n-1)\cdot (n^2+n+1)}{(n+1)\cdot (n^2-n+1)}\cdot\frac {n\cdot (n^2+3n+3)}{(n+2)\cdot (n^2+n+1)}=
=\frac {1}{3\cdot3}\cdot\frac {2}{4} \cdot\frac {3}{5}\cdot ...\cdot\frac { n-1}{n+1}\cdot\frac {n\cdot( n^2+3n+2)}{n+2}=

πάλι τηλεσκοπικό, ίσον

\frac {1\cdot 2\cdot( n^2+3n+2)}{3(n+1)(n+2)}\rightarrow \frac{2}{3}

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: διόρθωσα διάφορες τυπογραφικές αβλεψίες.


caley-hamilton
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 20, 2011 1:05 am

Re: ακολουθια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από caley-hamilton » Παρ Μαρ 04, 2011 11:32 pm

Παιδιά με πρόλαβε ο Mihalis_Lambrou!!! Το ίδιο γινόμενο μου είχε ξανατύχει στα προβλήματα προετοιμασίας για SEEMOUS 2008. Θα δώσω και γω τη δική μου προσέγγιση έστω κι αν μοιάζει με του Mihalis_Lambrou.
Ουσιαστικά αναζητούμε το lim του
\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\frac{(k+1)^3-1}{(k+1)^3+1} όταν το n πάει στο άπειρο.
Αναπτύσσουμε τους κύβους σε αριθμητή και παρονομαστή αντοίστιχα με τον ακόλουθο τρόπο:
n^3-1=(n-1)(n(n+1)+1)

n^3+1=(n+1)(n(n-1)+1) όπου n=k+1 και στη συνέχεια βγαίνει τηλεσκοπικό.Μάλιστα βρήκα αποτέλεσμα \displaystyle\frac{2}{3}$.Ελπίζω να μην έχω κανει λαθος στις πράξεις(εννοείται στο δικό μου χαρτί)*.....γιατί είμαι λίγο ζαλισμένος......αλλά η ιδέα οστόσο είναι αυτή.

*δεν τις μετέφερα εδώ διότι δεν γνωρίζω καλά latex(γράφω αργά)και βιάζομαι λίγο!!!!

ΖΗΤΩ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ!!!!!!!!!! :logo: :logo: :logo: :logo: :logo: ..............
τελευταία επεξεργασία από caley-hamilton σε Σάβ Μαρ 05, 2011 1:21 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Εάν επρόκειτο να ξυπνήσω έπειτα από έναν ύπνο χιλίων ετών,
η πρώτη μου ερώτηση θα ήταν:Αποδείχθηκε η υπόθεση Riemann;

David Hilber (1862-1943)
tsaknakis
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 6:57 pm

Re: ακολουθια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tsaknakis » Παρ Μαρ 04, 2011 11:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
tsaknakis έγραψε:Να βρεθει το οριο της ακολουθιας a_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot\frac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\cdot\cdot\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}
Το γινόμενο είναι τηλεσκοπικό: γράφοντας τον τυπικό αριθμητή
ως (n-1)(n^2+n+1) και τον παρονομαστή ως (n+1)(n^2-n+1) εύκολα βλέπουμε ότι ο δευτεροβάθμιος παράγοντας του αριθμητή απλοποιείται με τον δευτεροβάθμιο του επόμενου όρου στον παρονομαστή.

Το γινόμενο τελικά ισούται

\frac {1\cdot7}{3\cdot3}\cdot\frac {2\cdot13}{4\cdot7} \cdot\frac {3\cdot21}{5\cdot 13}\cdot ...\cdot\frac {(n-1)\cdot (n^2+n+1)}{(n+1)\cdot (n^2-n+1)}=
\frac {1}{3\cdot3}\cdot\frac {2}{4} \cdot\frac {3}{5}\cdot ...\cdot\frac { n^2+n+1}{(n+1)}=

πάλι τηλεσκοπικό, ίσον

\frac {1\cdot 2}{n(n+1)}

Ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις. Κούραση γαρ.

Φιλικά,

Μιχάλης

πολυ σωστα κ. Λαμπρου, απλα ο τελευταιος παραγοντας του γινομενου ειναι το \frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}, και η λυση ειναι αναλογη.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: ακολουθια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Μαρ 04, 2011 11:35 pm

Θαρρώ πως υπάρχει στο βιβλίο του Nowak τούτη δω.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: ακολουθια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Μαρ 05, 2011 12:45 am

Μετά από όλα τα παραπάνω, ας γράψουμε και την λύση (για να υπάρχει για το δελτίο).

\displaystyle{{a_n} = \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^3} - 1}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^3} + 1}}}  = \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{k\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)}}{{\left( {k + 2} \right)\left( {{k^2} + k + 1} \right)}}}  = \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{k + 2}}}  \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{{k^2} + 3k + 3}}{{{k^2} + k + 1}}}  = }

\displaystyle{ = \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{k + 2}}}  \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} + \left( {k + 1} \right) + 1}}{{{k^2} + k + 1}}}  = \left( {\frac{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot .. \cdot n}}{{3 \cdot 4 \cdot .. \cdot n \cdot \left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{{7 \cdot 13 \cdot .. \cdot \left( {{n^2} + n + 1} \right) \cdot \left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}{{3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot .. \cdot \left( {{n^2} + n + 1} \right)}}} \right) = }

\displaystyle{ = \left( {\frac{{1 \cdot 2}}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}{3}} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{{n^2} + 3n + 2}}\xrightarrow{{n \to \infty }}\frac{2}{3}}

(Δεν έκανα τίποτα καινούριο, απλά συμμάζεψα τα παραπάνω).


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες