ακολουθια

tsaknakis · #1

Να βρεθει το οριο της ακολουθιας $a_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot\frac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\cdot\cdot\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}$

Ιστοσελίδα · #2

απέσυρα την λύση μετά από υπόδειξη του Δημήτρη γιατί ήταν λάθος

#3

Σπύρο υπάρχει λάθος στην λογική (και στην τελική απάντηση).

Για παράδειγμα αν $\displaystyle{ b_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{n-1}{n}}$

Τότε $\frac{n-1}{n} \to 1$ αλλά $b_n \to 0$ .

#4

tsaknakis έγραψε:Να βρεθει το οριο της ακολουθιας $a_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot\frac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\cdot\cdot\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}$

Το γινόμενο είναι τηλεσκοπικό: γράφοντας τον τυπικό αριθμητή
ως (n-1)(n^2+n+1)

και τον παρονομαστή ως (n+1)(n^2-n+1)

εύκολα βλέπουμε ότι ο δευτεροβάθμιος παράγοντας του αριθμητή απλοποιείται με τον δευτεροβάθμιο του επόμενου όρου στον παρονομαστή. Πράγματι, ο τελευταίος είναι (n+1)^2-(n+1)+1= n^2+n+1

, όσο θέλαμε.

Το γινόμενο τελικά ισούται

$\frac {1\cdot7}{3\cdot3}\cdot\frac {2\cdot13}{4\cdot7} \cdot\frac {3\cdot21}{5\cdot 13}\cdot ...\cdot\frac {(n-1)\cdot (n^2+n+1)}{(n+1)\cdot (n^2-n+1)}\cdot\frac {n\cdot (n^2+3n+3)}{(n+2)\cdot (n^2+n+1)}=$
$=\frac {1}{3\cdot3}\cdot\frac {2}{4} \cdot\frac {3}{5}\cdot ...\cdot\frac { n-1}{n+1}\cdot\frac {n\cdot( n^2+3n+2)}{n+2}=$

πάλι τηλεσκοπικό, ίσον

$\frac {1\cdot 2\cdot( n^2+3n+2)}{3(n+1)(n+2)}\rightarrow \frac{2}{3}$

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: διόρθωσα διάφορες τυπογραφικές αβλεψίες.

caley-hamilton · #5

Παιδιά με πρόλαβε ο Mihalis_Lambrou!!! Το ίδιο γινόμενο μου είχε ξανατύχει στα προβλήματα προετοιμασίας για SEEMOUS 2008. Θα δώσω και γω τη δική μου προσέγγιση έστω κι αν μοιάζει με του Mihalis_Lambrou.
Ουσιαστικά αναζητούμε το lim του
$\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\frac{(k+1)^3-1}{(k+1)^3+1}$ όταν το n πάει στο άπειρο.
Αναπτύσσουμε τους κύβους σε αριθμητή και παρονομαστή αντοίστιχα με τον ακόλουθο τρόπο:
n^3-1=(n-1)(n(n+1)+1)

όπου n=k+1 και στη συνέχεια βγαίνει τηλεσκοπικό.Μάλιστα βρήκα αποτέλεσμα $\displaystyle\frac{2}{3}$ $.Ελπίζω να μην έχω κανει λαθος στις πράξεις(εννοείται στο δικό μου χαρτί)*.....γιατί είμαι λίγο ζαλισμένος......αλλά η ιδέα οστόσο είναι αυτή.

*δεν τις μετέφερα εδώ διότι δεν γνωρίζω καλά latex(γράφω αργά)και βιάζομαι λίγο!!!!

ΖΗΤΩ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ!!!!!!!!!!

..............

tsaknakis · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
tsaknakis έγραψε:Να βρεθει το οριο της ακολουθιας $a_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot\frac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\cdot\cdot\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}$
Το γινόμενο είναι τηλεσκοπικό: γράφοντας τον τυπικό αριθμητή
ως και τον παρονομαστή ως εύκολα βλέπουμε ότι ο δευτεροβάθμιος παράγοντας του αριθμητή απλοποιείται με τον δευτεροβάθμιο του επόμενου όρου στον παρονομαστή.

Το γινόμενο τελικά ισούται

$\frac {1\cdot7}{3\cdot3}\cdot\frac {2\cdot13}{4\cdot7} \cdot\frac {3\cdot21}{5\cdot 13}\cdot ...\cdot\frac {(n-1)\cdot (n^2+n+1)}{(n+1)\cdot (n^2-n+1)}=$
$\frac {1}{3\cdot3}\cdot\frac {2}{4} \cdot\frac {3}{5}\cdot ...\cdot\frac { n^2+n+1}{(n+1)}=$

πάλι τηλεσκοπικό, ίσον

$\frac {1\cdot 2}{n(n+1)}$

Ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις. Κούραση γαρ.

Φιλικά,

Μιχάλης

πολυ σωστα κ. Λαμπρου, απλα ο τελευταιος παραγοντας του γινομενου ειναι το $\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}$ , και η λυση ειναι αναλογη.

#7

Θαρρώ πως υπάρχει στο βιβλίο του Nowak τούτη δω.

#8

Μετά από όλα τα παραπάνω, ας γράψουμε και την λύση (για να υπάρχει για το δελτίο).

$\displaystyle{{a_n} = \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^3} - 1}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^3} + 1}}} = \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{k\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)}}{{\left( {k + 2} \right)\left( {{k^2} + k + 1} \right)}}} = \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{k + 2}}} \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{{k^2} + 3k + 3}}{{{k^2} + k + 1}}} = }$

$\displaystyle{ = \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{k + 2}}} \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} + \left( {k + 1} \right) + 1}}{{{k^2} + k + 1}}} = \left( {\frac{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot .. \cdot n}}{{3 \cdot 4 \cdot .. \cdot n \cdot \left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{{7 \cdot 13 \cdot .. \cdot \left( {{n^2} + n + 1} \right) \cdot \left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}{{3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot .. \cdot \left( {{n^2} + n + 1} \right)}}} \right) = }$

$\displaystyle{ = \left( {\frac{{1 \cdot 2}}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}{3}} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{{n^2} + 3n + 2}}\xrightarrow{{n \to \infty }}\frac{2}{3}}$

(Δεν έκανα τίποτα καινούριο, απλά συμμάζεψα τα παραπάνω).

ακολουθια

ακολουθια

Re: ακολουθια

Re: ακολουθια

Re: ακολουθια

Re: ακολουθια

Re: ακολουθια

Re: ακολουθια

Re: ακολουθια

Μέλη σε σύνδεση