Θεωρημα Taylor

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

brainhighway
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 3:30 pm

Θεωρημα Taylor

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από brainhighway » Πέμ Μάιος 21, 2009 3:47 pm

Μπορει καποιος να μου πει τι λεει το θεωρημα Taylor και μια αναφορα σε καποιο ακαδημαϊκο συγγραμμα?
Σας ευχαριστω προκαταβολικα brainhighway........


Οσο μαθαινεις τοσο καταλαβαινεις την αμαθεια σου

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θεωρημα Taylor

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Μάιος 21, 2009 3:53 pm

Οπως σωστα αναφερει ο Γρηγορης και ξεχασα να αναφερω εγω, οι πρωτες n παραγωγοι πρεπει να ειναι και συνεχεις στο κλειστο διαστημα. Εδω διορθωνω το θεωρημα.

Το θεωρημα Taylor λεει:

Εστω συναρτηση n φορες συνεχως παραγωγισιμη σε κλειστο διαστημα [a,b] και n+1 φορες παραγωγισιμη στο (a,b). Τοτε υπαρχει \xi \in (a,b) τετοιο ωστε

f(b) = f(a) + f^{\prime} (a) (b-a) + \frac{1}{2!} f^{\prime \prime} (a) (b-a)^2 + ... +  
\frac{1}{n!} f^{[n]} (a) (b-a)^n +

+ \frac{1}{(n+1)!} f^{[n+1]} (\xi) (b-a)^{n+1}


Θα το βρεις σε οποιοδηποτε εγχειριδιο με καπως προχωρημενη αναλυση (π.χ. Rudin, Battle-Stewart, κλπ.)

Δημητρης Σκουτερης
τελευταία επεξεργασία από dement σε Παρ Μάιος 22, 2009 9:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2909
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Re: Θεωρημα Taylor

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μάιος 21, 2009 5:15 pm

Χωρίς να διαφέρει ουσιαστικά - πώς θα μπορούσε άλλωστε ; - από τον Τύπο του Taylor πού έχει αναφέρει ο Δημήτρης παραπάνω, ακολουθεί μια διαφορετική διατύπωση του τύπου και ένα σχόλιο επ' αυτού.

ΘΕΩΡΗΜΑ ( Τύπος του Taylor ) Έστω f:\left[{\alpha,\,\beta}\right]\,\longrightarrow\mathbb{R} μία συνάρτηση τέτοια ώστε η f^{({\nu-1})} να είναι συνεχής στο \left[{\alpha,\,\beta}\right] καί η f^{({\nu})} να υπάρχει στο \left({\alpha,\,\beta}\right). Αν x_0\in\left[{\alpha,\,\beta}\right], τότε για οποιοδήποτε x\in\left[{\alpha,\,\beta}\right], υπάρχει \xi μεταξύ των x και x_0, τέτοιος ώστε

\displaystyle{f(x)}=f({x_0})+\frac{f^{\prime}({x_0})}{1!}({x-x_0})+\frac{f^{\prime\prime}({x_0})}{2!}({x-x_0})^2+...+\frac{f^{({\nu-1})}({x_0})}{({\nu-1})!}({x-x_0})^{\nu-1}+R_{\nu}

όπου R_{\nu}=\dfrac{({x-\xi})^{\nu-p}f^{({\nu})}({\xi})}{p\,({\nu-1})!}\,({x-x_0})^{p} και p\in\mathbb{Z}^{+}.

Μία ελεύθερη αλλά ακριβής ερμηνεία του Θεωρήματος είναι η εξής: Κάθε συνάρτηση f, τουλάχιστον \nu-φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα \left[{\alpha,\,\beta}\right] μπορεί να εκφραστεί σαν πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού \nu συν ένα υπόλοιπο R_{\nu}.

Υ.Γ. Μπορεί να βρεθεί καί σε οποιοδήποτε(?) Ελληνικό πανεπιστημιακό βιβλίο Ανάλυσης.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
brainhighway
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 3:30 pm

Re: Θεωρημα Taylor

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από brainhighway » Παρ Μάιος 22, 2009 1:43 am

Σας ευχαριστω ολους. Εγω εχω το βιβλιο Απειροστικος Λογισμος Τομος Α' (ελλ. μετ. Ph.D Μ. Αντωγιαννακη από το αμερικανικο Thomas' Calculus , Tenth Edition) το οποιο ο καθηγητης μου εχε πει οτι ειναι καλο ( και δεν το εχει μεσα το Θεωρημα Taylor (!) και στη βιβλιοθηκη εχει μονο κατι παλαια βιβλια. Εγω επειδη εγω ενα μικρο προβλημα με τα ολοκληρωματα δεν καταλαβαινω και πολλα. Πως βαζω ασκηση στην ιστοσελιδα με το προγραμμα γιατι δεν ξερω?

Υ.Γ.:Εχετε να μου προτεινετε καποια ενημερωμενη βιβλιοθηκη;


Οσο μαθαινεις τοσο καταλαβαινεις την αμαθεια σου
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6913
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Θεωρημα Taylor

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Μάιος 22, 2009 1:50 am

Καλημέρα.. Στο δεύτερο τόμο του βιβλίου που αναφέρεις θα βρείς το θεώρημα taylor στη σελίδα 653 και στο παράρτημα 8 (Π-8) , στο τέλος.
Όσον αφορά ενημερωμένη βιβλιοθήκη, νομίζω πως δεν υπάρχει καλύτερη απο το...διαδίκτυο!!!
Πατάς στη μηχανή αναζήτησης κατάλληλες λέξεις που σ'ενδιαφέρουν και βρίσκεις ότι επιθυμείς!


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης