Σύγκλιση Ναί

S.E.Louridas · #1

Έστω $\vartheta \in \left( {0,\pi } \right)$ και x_n

μία πραγματική ακολουθία.
Θεωρούμε την ακολουθία y_n

ορισμένη ως εξής: $y_0 = x_0 \;\kappa \alpha \iota \;y_n = x_n - (\cos \vartheta )x_{n - 1} ,\,\forall n \geqslant 1.$
Να αποδειχθεί ότι: Αν η ακολουθία y_n

συγκλίνει, τότε και η ακολουθία x_n

θα συγκλίνει.

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:Έστω $\vartheta \in \left( {0,\pi } \right)$ και μία πραγματική ακολουθία.
Θεωρούμε την ακολουθία ορισμένη ως εξής: $y_0 = x_0 \;\kappa \alpha \iota \;y_n = x_n - (\cos \vartheta )x_{n - 1} ,\,\forall n \geqslant 1.$
Να αποδειχθεί ότι: Αν η ακολουθία συγκλίνει, τότε και η ακολουθία θα συγκλίνει.

Γράφουμε $c = \cos \theta$ οπότε |c| < 1

. Θα κάνω την περίπτωση 0 < c < 1

, αλλά η άλλη είναι όμοια.

Από την δοθείσα εύκολα βλέπουμε ότι $x_n = y_n + cy_{n-1} + ... + c^ny_0$ .

Χρησιμοποιούμε τώρα την γνωστή ιδιότητα (βλέπε Knopp, Infinite sequences and series, σελίς 34) ότι αν p_n >0

και
$p_0 + p_1 + ... +p_n \rightarrow \infty$ τότε η

$\displaystyle{\frac {p_0y_0 +p_1y_1+...+p_ny_n}{p_0+p_1+...+p_n}}$ συγκλίνει και αυτή στο $\lim y_n$ .

Παίρνοντας $p_k = \frac {1}{c^k}$ συμπραίνουμε ότι συγκλίνει και η

$\displaystyle{ \frac{1-c^{n+1}}{1-c} \cdot \frac { y_0 + \frac{y_{1}}{c} + ... + \frac{y_{n-1}}{c^{n-1}} + \frac {y_n}{c^n}}{1 +\frac{1}{c}+...+ \frac{1}{c^n} } =$

$\displaystyle{ \frac{\frac{1}{c^{n+1}}-1}{\frac{1}{c}-1} \cdot \frac {c^n \left( y_0 + \frac{y_{1}}{c} + ... + \frac{y_{n-1}}{c^{n-1}} + \frac {y_n}{c^n}\right)}{1 +\frac{1}{c}+...+ \frac{1}{c^n} } =$

$\displaystyle{= y_n + cy_{n-1} + ... + c^ny_0 = x_n$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Σύγκλιση Ναί

Σύγκλιση Ναί

Re: Σύγκλιση Ναί

Μέλη σε σύνδεση