Darboux 4

#1

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Κατασκευάζουμε την συνάρτηση $h(x)=\begin{cases} f(x) & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\ g(x) & x \in \mathbb{Q} \end{cases}$

Αν η

έχει την ιδιότητα Darboux, να αποδειχθεί ότι $f(x)=g(x), \forall x \in \mathbb{R}$

peter · #2

Με άτοπο: Αν όχι, τότε υπάρχει $\gamma\in \mathbb R$ και διάστημα [a,b]

ώστε $f(x)<\gamma <g(x)$ για κάθε [a,b]

(λόγω συνέχειας των f,g

). Άρα, αν επιλέξουμε $q\in \mathbb Q, r\notin \mathbb Q$ με a<q<r<b

τότε $h(q)>\gamma >h(r)$ , ενώ $h(x)\neq \gamma$ για κάθε $x\in [q,r]$ .

Darboux 4

Darboux 4

Re: Darboux 4

Μέλη σε σύνδεση