ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ!!!! 1976

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4248
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ!!!! 1976

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιούλ 07, 2011 1:47 am

ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Περιόδου Οκτωβρίου 1976)

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Σ. Νεγρεπόντης

(Θα γράψετε 2 θέματα από την ομάδα Α, 2 από την ομάδα Β και 1 από την ομάδα Γ)

Α-1. (α) Αποδείξτε ότι το σύνολο \left\{0,1 \right\}^{N} δεν είναι αριθμήσιμο. Μετά δείξτε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι αριθμήσιμο.

(β) Αποδείξτε ότι ένας συμπαγής μετρικός χώρος είναι πλήρης.

Α-2. Θέτουμε f_{n}(t)=n^{2}t(1-t^{2})^{n} , για t \in [0,1] και για n=1,2,3, ...
(α) Εξετάστε αν \lim_{n\rightarrow \propto }\int_{0}^{1}{f_{n}(t)dt}=\int_{0}^{1}{\lim_{n\rightarrow \propto }f_{n}(t)dt}

(β) Εξετάστε αν η ακολουθία (f_{n}) συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1] σε κάποια συνάρτηση

Α-3. (α) Έστω (Χ,ρ) ένας μετρικός χώρος , A\subset X και ρΕΧ. Δώστε τον ορισμό: Το ρ είναι σημείο συσσωρεύσεως του Α. Αποδείξτε ότι \bar{A}=A\bigcup{A'} όπου το Α΄ το σύνολο των σημείων συσσωρεύσεως του Α.
(β) (με τον συμβολισμό του α) Αποδείξτε ότι ρΕΑ΄ τότε και μόνο αν για κάθε ε>0 το σύνολο S(\varrho ,\epsilon )\bigcap{A} είναι απειροσύνολο.

(γ) Δώστε τον ορισμό κυρτού συνόλου στο R^{k} και αποδείξτε ότι ένα κυρτό υποσύνολο του R^{k} είναι συνεκτικό (k\geq 1).

(Ένα υποσύνολο U\subseteq R^{k} λέγεται κυρτό, αν για κάθε x,yEU και για κάθε \lambda E[0,1], ισχύει \lambda x+(1-l)y EU

Β-1. (α) Δώστε προσεκτικό ορισμό της συναρτήσεως φραγμένης κυμάνσεως.
(β) Δώστε πλήρη απόδειξη του θεωρήματος: κάθε συνάρτηση φραγμένης κυμάνσεως f είναι ίση με την διαφορά δύο αυξουσών συναρτήσεων.
(γ) Τί συμβαίνει, όταν στο (β) η f είναι επιπροσθέτως και συνεχής;

Β-2. (α) Διατυπώστε προσεκτικά το θεώρημα αντιστρόφου συναρτήσεως του Διαφορικού λογισμού.
(β) Διατυπώστε και αποδείξτε (χρησιμοποιώντας το (α)) το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων
(γ) Αποδείξτε χρησιμοποιώντας το (β) ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:R^{2}\rightarrow R 1-1 και συνεχώς διαφορίσιμη

Β-3. (α) Έστω U\subset R^{k} ανοικτό και κυρτό, f:U\rightarrow R συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση και xEU. Αν η f παίρνει τοπικό ελάχιστο ή (μέγιστο) στο x αποδείξτε ότι
D_{i}f(x)=0, i=1,2,...,k
(β) Έστω \left\{\alpha _{ij} \right\}i,j=1,2,... διπλή ακολουθία πραγματικών αριθμών. Υποθέτουμε ότι

(1) Για κάθε i η σειρά \sum_{j=1}^{\propto }{|\alpha _{ij}|} συγκλίνει και = b_{i}

(2) η σειρά \sum_{i=1}^{\propto }{b_{i}} συγκλίνει

Αποδείξτε ότι \sum_{i=1}^{\propto }{\sum_{j=1}^{\propto }{\alpha _{ij}}}=\sum_{j=1}^{\propto }{\sum_{i=1}^{\propto }{\alpha _{ij}}}

(Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε ότι το ομοιόμορφο όριο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση)

Γ-1. Έστω (Χ,ρ) συνεκτικός μετρικός χώρος και f:X\rightarrow R συνεχής συνάρτηση. Αποδείξτε ότι αν η f είναι τοπικά σταθερή συνάρτηση (δηλ. αν για κάθε χΕΧ υπάρχει ε>0 ώστε f/S(x,ε) σταθερή) τότε η f είναι σταθερή στον Χ

Γ-2. (α) Έστω f:[a,b]\rightarrow R. Αποδείξτε ότι αν υπάρχουν ακολουθίες \left\{x_{n} \right\},\left\{y_{n} \right\} στο [a,b] ώστε x_{n}-y_{n}\rightarrow 0 και η f(x_{n})-f(y_{n}) δεν συγκλίνει στο 0 τότε η f δεν είναοι φραγμένης κυμάνσεως.

(β) Αποδείξτε (χρησιμοποιώντας το α) ότι η συνάρτηση

f(x)=x\eta \mu \frac{\pi }{x}, 0<x\leq 2 
 
f(x)=0,x=0

δεν είναι φραγμένης κυμάνσεως.



Λέξεις Κλειδιά:
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ!!!! 1976

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Ιούλ 07, 2011 9:13 am

Ας δώσω μία απάντηση στο Α1-α

Το σύνολο \{0,1\}^{\mathbb{N}} είναι το σύνολο των αριθμών του διαστήματος (0,1) γραμμένων ως

απειροψήφιων στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Επειδή σε κάθε αριθμό του (0,1) αντιστοιχεί μία και μόνον ακολουθία

0-1, τα σύνολα \{0,1\}^{\mathbb{N}} και (0,1) είναι ισοδύναμα.

Αφ' ετέρου το (0,1) και το \mathbb{R} είναι ισοδύναμα.

(Όπως μου λέει ο Νίκος Ζανταρίδης που τον έχω δίπλα μου καθώς γράφω) η f:\mathbb{R} \to (0,1), f(x)=\frac {e^x}{1+e^x} είναι

μία από τις άπειρες 1-1 και επί συναρτήσεις που αποδεικνύουν την παραπάνω ισοδυναμία.

Συνεπώς το \{0,1\}^{\mathbb{N}} και το \mathbb{R} είναι ισοπληθικά και η απόδειξη τελείωσε.


Σπύρος Καπελλίδης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12441
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ!!!! 1976

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 07, 2011 10:32 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Α-2. Θέτουμε f_{n}(t)=n^{2}t(1-t^{2})^{n} , για t \in [0,1] και για n=1,2,3, ...
(α) Εξετάστε αν \lim_{n\rightarrow \propto }\int_{0}^{1}{f_{n}(t)dt}=\int_{0}^{1}{\lim_{n\rightarrow \propto }f_{n}(t)dt}

(β) Εξετάστε αν η ακολουθία (f_{n}) συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1] σε κάποια συνάρτηση

Γνωστού όντως ότι n^2a^n \rightarrow 0 αν |a|<1 , η n^{2}(1-t^{2})^{n} \rightarrow 0 για 0\le t<1. Αλλά και για t=1 τείνει (ισούται με) 0. Τελικά f_n(t)\rightarrow 0 κατά σημείο.

H σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη γιατί \int _0^1 n^2t(1-t^2)^ndt = -\frac {1}{2}\cdot \frac {n^2}{n+1} (1-t^2)^{n+1}\big |_0^1= \frac {1}{2}\cdot \frac {n^2}{n+1} \rightarrow \infty, ενώ \int_0^1 0dt =0 (απαντά στα α) και β) συγχρόνως).

Φιλικά,

Μιχάλης


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12441
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ!!!! 1976

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 07, 2011 10:51 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Γ-1. Έστω (Χ,ρ) συνεκτικός μετρικός χώρος και f:X\rightarrow R συνεχής συνάρτηση. Αποδείξτε ότι αν η f είναι τοπικά σταθερή συνάρτηση (δηλ. αν για κάθε χΕΧ υπάρχει ε>0 ώστε f/S(x,ε) σταθερή) τότε η f είναι σταθερή στον Χ
Οι Α-3, Β-1, Β-2, Β-3 είναι στάνταρ θεωρία, και τις αφήνω.

Γ-1. Έστω ότι f μη σταθερή, οπότε υπάρχουν a, b\,\, \mu \epsilon \,\, f(a)<f(b).
Έστω c\,\, \mu \epsilon \,\,  f(a)<c<f(b).

To σύνολο \{ x\in X : f(x) \le c \}= f^{-1}((-\infty, c]) είναι κλειστό ως αντίστροφη εικόνα κλειστού ως προς συνεχή συνάρτηση. (*)

Από την δοθείσα υπόθεση περί τοπικά σταθερής συνάρτησης, το ίδιο σύνολο είναι ανοικτό (γιατί αν περιέχει το x τότε, εξ υποθέσεως, περιέχει και το S(x,\epsilon)). (**)

Tα (*) και (**) αντιβαίνουν στην υπόθεση της συνεκτικότητας του X. Άρα αληθεύει το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12441
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ!!!! 1976

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 07, 2011 11:27 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Γ-2. (α) Έστω f:[a,b]\rightarrow R. Αποδείξτε ότι αν υπάρχουν ακολουθίες \left\{x_{n} \right\},\left\{y_{n} \right\} στο [a,b] ώστε x_{n}-y_{n}\rightarrow 0 και η f(x_{n})-f(y_{n}) δεν συγκλίνει στο 0 τότε η f δεν είναι φραγμένης κυμάνσεως.

(β) Αποδείξτε (χρησιμοποιώντας το α) ότι η συνάρτηση

f(x)=x\eta \mu \frac{\pi }{x}, 0<x\leq 2 
 
f(x)=0,x=0

δεν είναι φραγμένης κυμάνσεως.
α) Αφού f(x_{n})-f(y_{n}) δεν συγκλίνει στο 0, υπάρχει c>0 τέτοιο ώστε

|f(x_{n})-f(y_{n})\ge c άπειρες φορές, έστω στα x_{n_k}, y_{n_k}. Για διαμέριση του [0, 2] που περιέχει Ν το πλήθος από αυτά τα άπειρα με \displaystyle y_{n_N}< x_{n_N} < y_{n_{N-1}} < x_{n_{N-1} }< ... < y_{n_1}<x_{n_1} (πήρα χωρίς βλάβη \displaystyle y_{n_k}<x_{n_k}). Είναι τότε

\displaystyle \sum _0^N |f(y_{n_k}-x_{n_k}| \ge Nc \rightarrow \infty, άρα η f δεν είναι φραγμένης κύμανσης.

β) Παίρνουμε x(n) = \frac {1}{2n\pi}, x(n) = \frac {1}{2n\pi +\pi/2}. Είναι τότε για την συγκεκτιμένη f,
\displaystyle \sum _0^N |f(y_{n_k}-x_{n_k}| = \sum _0^N |0-\frac {1}{2n\pi +\pi/2}| \rightarrow \infty διότι η σειρά \sum \frac{1}{n} αποκλίνει.

Άρα η f δεν είναι φραγμένης κύμανσης.

Φιλικά,

Μιχάλης

ΣΧΟΛΙΟ: Ας σημειωθεί ότι δεν έγινε χρήση της " (χρησιμοποιώντας το α)" αλλά μιάς ισχυρότερης εκδοχής της. Δεν γίνεται με χρήση της α) (δηλαδή, ακριβολογώντας, η άσκηση είναι λάθος) γιατί δεν υπάρχουν ακολουθίες ως άνω, που διαμερίζουν το [0,2]. Πράγματι, θα πρέπει κάθε τέτοια να έχει x_n, y_n \rightarrow 0 (δεν μπορούν τα x_n, y_n \ge d>0 γιατί η δεδομένη f είναι φραγμένης κύμανσης στο [d,2]. Τώρα, αν x_n, y_n \rightarrow 0 τότε αυτόματα f(x_n), f(y_n) \rightarrow 0 καθώς |f(x)| \le |x|.

Το γενικό μου σχόλιο για το παραπάνω διαγώνισμα: Καλό. Περιέχει πολύ θεωρία (είναι κεντρικών και αξιοσημείωτων θεμάτων) οπότε "ευνοείται" ο καλά διαβασμένος φοιτητής. Περνά άνετα, χωρίς να λύσει προβλήματα. Προφανώς ο εξεταστής, δεδομενου ότι το διαγώνισμα ήταν σε εξεταστική περίοδο Σεπτεμβρίου, ήθελε να "βοηθήσει" (αλλά χωρίς εκπτώσεις) την μάζα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης