Θεματα εξετάσεων στον Απειρ. Λογισμό ΙΙ
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 10, 2011 6:57 pm
Με σύμφωνη γνώμη του διδάσκοντα καθηγητή Σ. Ντούγια -τον οποίο και ευχαριστούμε- δημοσιεύουμε τα θέματα εξετάσεων Απειροστικού Λογισμού ΙΙ στο Μαθηματικό Τμήμα Ιωαννίνων (Ιούνιος 2011)
1. α) Να δώσετε τον ορισμό του αθροίσματος Riemann ορίζοντας αναλυτικά το κάθε τι, και με την βοήθειά του να δώσετε τον ορισμο της κατά Riemann ολοκληρώσιμης συνάρτησης.
β) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη, σύμφωνα με τον ορισμό πού δώσατε στο α) , τότε αυτή είναι φραγμένη.
γ) Έστω μιά ολοκληρώσιμη συνάρτηση, σύμφωνα με τον ορισμό πού δώσατε στο α) και μιά τυχούσα διαμέριση του . Να αποδείξετε ότι, για κάθε , υπάρχει σύνολο ενδιαμέσων τιμών της τέτοιο ώστε να ισχύει , όπου είναι το άνω άθροισμα της ως προς την .
δ) Να εξετάσετε αν συγκλίνει το γενικευμένο ολοκλήρωμα , και αν υπάρχει η πρωτεύουσα τιμή Cauchy.
2. α) Έστω μιά παραγωγίσιμη συνάρτηση, τέτοια ώστε, για κάθε , να ισχύει , για κάποιον . Να αποδείξετε ότι η ικανοποιεί την συνθήκη του Riemann.
β) Έστωσαν και η συνάρτηση , . Θεωρώντας την διαμέριση , να υπολογίσετε το και το , όπου είναι το κάτω άθροισμα της ως προς την και είναι το κάτω ολοκλήρωμα της .
γ) Να εξετάσετε αν συγκλίνει το γενικευμένο ολοκλήρωμα .
3. α) Μιά συνάρτηση θα λέγεται αντιπεριοδική με αντιπερίοδο , αν, για κάθε , ισχύει . Να αποδείξετε ότι, αν η συνάρτηση είναι αντιπεριοδική με αντιπερίοδο , τότε και η συνάρτηση με
,
είναι, επίσης, αντιπεριοδική με αντιπερίοδο .
β) Να βρεθούν οι τιμές και αν:
,
όπου και είναι συνεχείς συναρτήσεις.
γ) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και , χωρίζει σε δύο μέρη τον κύκλο με κέντρο και ακτίνα . Να εκφράσετε το εμβαδόν του μικρότερου μέρους με την βοήθεια ολοκληρωμάτων. Στην συνέχεια να υπολογίσετε ένα από τα άρρητα ολοκληρώματα. (Να κάνετε σχήμα)
4. α) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
.
β) Αν είναι συνεχείς συναρτήσεις με και , τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει , τέτοιο ώστε .
γ) Να βρείτε την καμπύλη η οποία διέρχεται από το σημείο και της οποίας το μήκος τόξου μπορεί να υπολογισθεί από το ολοκλήρωμα . Να υπολογίσετε αυτό το μήκος.
________________________________________
και για την αντιγραφή
1. α) Να δώσετε τον ορισμό του αθροίσματος Riemann ορίζοντας αναλυτικά το κάθε τι, και με την βοήθειά του να δώσετε τον ορισμο της κατά Riemann ολοκληρώσιμης συνάρτησης.
β) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη, σύμφωνα με τον ορισμό πού δώσατε στο α) , τότε αυτή είναι φραγμένη.
γ) Έστω μιά ολοκληρώσιμη συνάρτηση, σύμφωνα με τον ορισμό πού δώσατε στο α) και μιά τυχούσα διαμέριση του . Να αποδείξετε ότι, για κάθε , υπάρχει σύνολο ενδιαμέσων τιμών της τέτοιο ώστε να ισχύει , όπου είναι το άνω άθροισμα της ως προς την .
δ) Να εξετάσετε αν συγκλίνει το γενικευμένο ολοκλήρωμα , και αν υπάρχει η πρωτεύουσα τιμή Cauchy.
2. α) Έστω μιά παραγωγίσιμη συνάρτηση, τέτοια ώστε, για κάθε , να ισχύει , για κάποιον . Να αποδείξετε ότι η ικανοποιεί την συνθήκη του Riemann.
β) Έστωσαν και η συνάρτηση , . Θεωρώντας την διαμέριση , να υπολογίσετε το και το , όπου είναι το κάτω άθροισμα της ως προς την και είναι το κάτω ολοκλήρωμα της .
γ) Να εξετάσετε αν συγκλίνει το γενικευμένο ολοκλήρωμα .
3. α) Μιά συνάρτηση θα λέγεται αντιπεριοδική με αντιπερίοδο , αν, για κάθε , ισχύει . Να αποδείξετε ότι, αν η συνάρτηση είναι αντιπεριοδική με αντιπερίοδο , τότε και η συνάρτηση με
,
είναι, επίσης, αντιπεριοδική με αντιπερίοδο .
β) Να βρεθούν οι τιμές και αν:
,
όπου και είναι συνεχείς συναρτήσεις.
γ) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και , χωρίζει σε δύο μέρη τον κύκλο με κέντρο και ακτίνα . Να εκφράσετε το εμβαδόν του μικρότερου μέρους με την βοήθεια ολοκληρωμάτων. Στην συνέχεια να υπολογίσετε ένα από τα άρρητα ολοκληρώματα. (Να κάνετε σχήμα)
4. α) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
.
β) Αν είναι συνεχείς συναρτήσεις με και , τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει , τέτοιο ώστε .
γ) Να βρείτε την καμπύλη η οποία διέρχεται από το σημείο και της οποίας το μήκος τόξου μπορεί να υπολογισθεί από το ολοκλήρωμα . Να υπολογίσετε αυτό το μήκος.
________________________________________
και για την αντιγραφή