Βραδυνό ολοκλήρωμα 134

mathxl · #1

Να βρείτε την f

$\displaystyle\ f(x) =\int_{-1}^{1}\ \frac{\log (x-t)^{2}}{\sqrt{1-t^{2}}}\ dt$
όταν $-1\leq x\leq 1$

Αναπάντητο για την ώρα στο μαθλινκσ

mathxl · #2

Δόθηκε η εξής υπόδειξη για λύση $\displaystyle\frac{1}{{\sqrt{1-x^{2}}}}=\sum\nolimits_{k = 0}^{+\infty }{\frac{{\left({2k}\right)!}}{{\left({k!}\right)^{2}}}\left({\frac{x}{2}}\right)^{2k}}$

#3

Επαναφορά.

#4

Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #5

Πολλά στραβά βλέπω. π.χ για x=0

έχουμε μη οριζόμενο λογάριθμο. Ενδιαφέρον έχει η ερώτηση για $x \geq 1$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 03, 2022 8:03 pm
Πολλά στραβά βλέπω. π.χ για έχουμε μη οριζόμενο λογάριθμο. Ενδιαφέρον έχει η ερώτηση για $x \geq 1$ .

Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.Το ολοκλήρωμα υπάρχει η σαν γενικευμένο Riemann η σαν Lebesgue.

Υπάρχει το ερώτημα τι σημαίνει βρίσκω την συνάρτηση.
π.χ Να την εκφράσω σαν πράξεις στοιχειωδών,σαν δυναμοσειρά κλπ.
Η συνάρτηση ορίζεται για όλα τα $x\in \mathbb{R}$
Εκείνο που βλέπω είναι ότι
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\log|x-t|\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\int_{-1}^{1}\log|x-t|(\arcsin t)'dt=\frac{\pi }{2}\log |x^2-1|+\int_{-1}^{1}\frac{\arcsin t}{x-t}dt$
για $x\neq 1,-1$ και στο τελευταίο ολοκλήρωμα έχουμε P.V

Αλλά αν $\displaystyle g(t)=\arcsin t,-1<t<1,g(t)=0 ,|t|\geq 1$
τότε $\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{\arcsin t}{x-t}dt=Hg(x)$
Οπου Η είναι ο Hilbert transform.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform

Επειδή ο Hilbert transform είναι κάτι συνηθισμένο το ολοκλήρωμα θα έχει υπολογισθεί η δεν θα υπολογίζεται .

Βραδυνό ολοκλήρωμα 134

Βραδυνό ολοκλήρωμα 134

Re: Βραδυνό ολοκλήρωμα 134

Re: Βραδυνό ολοκλήρωμα 134

Re: Βραδυνό ολοκλήρωμα 134

Re: Βραδυνό ολοκλήρωμα 134

Re: Βραδυνό ολοκλήρωμα 134

Μέλη σε σύνδεση