Κλεμμένο περιδέραιο ΙΙ

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7791
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Κλεμμένο περιδέραιο ΙΙ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 16, 2009 1:17 pm

Οι φίλοι μας από το [url=http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=52&t=1731]Κλεμμένο περιδέραιο[/url] ξαναχτυπούν. Αυτή τη φορά το περιδέραιο έχει 50 ρουμπίνια, 50 ζαφείρια και 50 διαμάντια.

Ποίος είναι ο ελάχιστος αριθμός κομματιών που πρέπει να το κόψουν (στην χειρότερη περίπτωση) ώστε να είναι σίγουροι ότι θα πάρουν από 25 ρουμπίνια/ζαφείρια/διαμάντια.

Το πρόβλημα αυτό το θεωρώ [b]αρκετά[/b] δύσκολο. (Άλλωστε ήταν ένα ανοικτό πρόβλημα μέχρι που οι Alon και West το 1986 κατάφεραν να μεταφράσουν αυτό το διακριτό πρόβλημα σε ένα αντίστοιχο συνεχές το οποίο λυνόταν με την χρήση αναλυτικών/τοπολογικών μεθόδων.)

Θα δώσω κάποιες βοήθειες αργότερα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7791
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κλεμμένο περιδέραιο ΙΙ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 24, 2009 5:04 pm

Είχα υποσχεθεί να δώσω βοήθεια αλλά το ξέχασα. Η λύση χρησιμοποιεί το ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα Borsuk-Ulam: Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:S^n \to \mathbb{R}^n υπάρχει x \in S^n με f(x) = f(-x).

Εδώ το S^n συμβολίζει την n-διάστατη σφαίρα, δηλαδή S^n = \{x\in \mathbb{R}^{n+1} : |x| = 1\}.

Π.χ. η περίπτωση n=1 του θεωρήματος λέει ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[0,2\pi] \to \mathbb{R} με f(0) = f(2\pi), υπάρχει x \in [0,\pi] με f(x) = f(x+\pi). (Ένα αποτέλεσμα που αποδεικνύεται και από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής. Συγκρίνετε με την απόδειξη εδώ: Κλεμμένο περιδέραιο.)

(Ακόμη και με αυτήν την βοήθεια το πρόβλημα εξακολουθεί να είναι κάπως δύσκολο.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης