Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

#1

Νά εξετασθεί άν η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{(\log\nu)^2}{(\log2)^{\nu}}$ συγκλίνει, εφαρμόζοντας τό κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert. ( $\log$ = δεκαδικός λογάριθμος )

#2

Αν θεωρήσουμε το λόγο $\displaystyle\frac{{a_{n + 1} }}{{a_n }}$ ,έχουμε $\displaystyle\frac{{\frac{{\left( {\log (n + 1)} \right)^2 }}{{\left( {\log 2} \right)^{n + 1} }}}}{{\frac{{\left( {\log n} \right)^2 }}{{\left( {\log 2} \right)^n }}}} = \frac{1}{{\log 2}}\left[ {\frac{{\log (n + 1)}}{{\log n}}} \right]^2$ που τείνει στο 1/log2 για n->oo. Όμως το 1/log2>1 , αρα η σειρά απειρίζεται θετικά...

#3

grigkost έγραψε:Νά εξετασθεί άν η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{(\log\nu)^2}{(\log2)^{\nu}}$ συγκλίνει, εφαρμόζοντας τό κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert. ( $\log$ = δεκαδικός λογάριθμος )

Το πηλίκο διαδοχικών όρων είναι $(\frac{\log(n+1)}{logn})^2\frac{1}{log2}$ .
Το πηλίκο των λογαρίθμων τείνει στο 1 (l' Hospital). Αλλά $\frac{1}{log2}>1$ , οπότε η σειρά αποκλίνει.

Βέβαια είναι πιο καλά να μην χρησιμοποιήσουμε D' Alembert εδώ: Τόσο το (logn)^2 όσο
και το $\left( \frac{1}{log2} \right)^n$ τείνουν στο άπειρο. Άρα η σειρά αποκλίνει "γρήγορα".

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Συμπλήρωμα: Χρήστο, γράφαμε συγχρόνως

Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

Re: Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

Re: Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

Μέλη σε σύνδεση