Συντελεστές μιας δυναμοσειράς

CarlT · #1

Έστω ότι η δυναμοσειρά $\sum_{n=0}^{\infty}\cos(\frac{n\pi}{6})\frac{z^n}{n!}$ συγκλίνει για όλα τα

, στην

. Έστω $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ το ανάπτυγμα της δυναμοσειράς της $\frac{3}{1+2f(z)}$ γύρω από το

. Να αποδειχθεί ότι $a_{3n}=0$ για όλους τους θετικούς ακεραίους

.

Κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη.

#2

CarlT έγραψε:Έστω ότι η δυναμοσειρά $\sum_{n=0}^{\infty}\cos(\frac{n\pi}{6})\frac{z^n}{n!}$ συγκλίνει για όλα τα , στην . Έστω $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ το ανάπτυγμα της δυναμοσειράς της $\frac{3}{1+2f(z)}$ γύρω από το . Να αποδειχθεί ότι $a_{3n}=0$ για όλους τους θετικούς ακεραίους .

Γράφουμε

$\displaystyle{F(z) = \frac{3}{1+2f(z)}= \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ .

Aν $\omega= \frac {-1+i\sqrt 3}{2}$ κυβική ρίζα της μονάδας, έχουμε $\omega ^3 =1, \,\, \omega ^2 + \omega + 1 = 0$ άρα

$\displaystyle { F(z) + F(\omega z) + F(\omega ^2z) = 3a_0 + a_1(1+ \omega + \omega ^2 )z + a_2(1+ \omega + \omega ^2 )z^2 + 3a_3z^3 + ...=$

$\displaystyle { = 3a_0 + 3a_3z^3 + 3 a_6z^6+ ...$ .

Έτσι, αν αποδείξουμε ότι το $\displaystyle { F(z) + F(\omega z) + F(\omega ^2z)$ είναι σταθερό, ανεξάρτητο του

, τελειώσαμε γιατί τότε $a_{3n}=0, \forall n \in \mathbb N^*$ .

Τώρα,

$\displaystyle {f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\cos(\frac{n\pi}{6})\frac{z^n}{n!} = \frac {1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left( e^{\frac{in\pi}{6}} + e^{-\frac{in\pi}{6}} \right)\frac{z^n}{n!} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(z e^{\frac{i\pi}{6}} \right)^n}{n!} + \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(z e^{-\frac{i\pi}{6}} \right)^n}{n!}=$

$\displaystyle { \frac{1}{2} \left( e^ {ze^{i \pi /6} }+ e^ {ze^{-i \pi /6} }\right) = \frac{1}{2} \left( e^ {z( \cos (\pi /6) + i\sin (\pi /6) )}+ e^ {z( \cos (\pi /6) - i\sin (\pi /6) )}\right)=$

$\displaystyle {\frac{1}{2}e^{z \sqrt {3} /2 }\left( e^ { i z/2 } + e^ { - i z/2 }\right) = e^{z \sqrt {3} /2 }\cos \frac {z}{2}$

δηλαδή $\displaystyle {f(z) = e^{z \frac {\sqrt {3}}{2} }\cos \frac {z}{2}$ και άρα $\displaystyle { F(z) = \frac {3}{1+2 e^{z \frac {\sqrt {3}}{2} }\cos \frac {z}{2}}$ .

Είναι τώρα θέμα ρουτίνας (δεν το γράφω γιατί η πληκτρολόγηση είναι επίπονη) να ελέγξει κανείς ότι $\displaystyle { F(z) + F(\omega z) + F(\omega ^2z)$ είναι σταθερό, όπως θέλαμε.

Ουφ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

CarlT · #3

Ευχαριστώ Mihalis_Lambrou

Συντελεστές μιας δυναμοσειράς

Συντελεστές μιας δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές μιας δυναμοσειράς

Re: Συντελεστές μιας δυναμοσειράς

Μέλη σε σύνδεση