Όριο

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} \right)^{\frac{1}{n}}}}$

#2

Η ποσότητα γράφεται $\displaystyle{\exp\left(\frac{2}{n}\ln n!-\frac{1}{n}\ln(2n+1)!\right)}$ .

Από τον τύπο του Stirling είναι $\displaystyle{n!=\sqrt{2n\pi}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\mathcal O(1/n)\right)}$ , άρα κάνοντας πράξεις στην πάνω ποσότητα βγάζουμε ότι είναι $\displaystyle{\exp\left(-\ln4+\mathcal O(\ln n/n)\right)\to1/4}$ .

#3

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} \right)^{\frac{1}{n}}}}$

Αλλιώς (χωρίς Stirling). Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι αν $\frac {a_{n+1}}{a_n} \to L$ τότε και $\sqrt[n]{a_n} \to L$ .

Εδώ $\displaystyle{a_n = \frac {(n!)^2}{(2n+1)!}$ , οπότε $\displaystyle{ \frac {a_{n+1}}{a_n} = \frac {((n+1)!)^2(2n+1)!}{(n!)^2(2n+3)!}= \frac {(n+1)^2}{(2n+2)(2n+3)} \to \frac {1}{4}$ και λοιπά (ίδια απάντηση με του Αναστάση).

Φιλικά,

Μιχάλης

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση