Πραγματική Ανάλυση, Νεγρεπόντης (Ιανουάριος 1977)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Πραγματική Ανάλυση, Νεγρεπόντης (Ιανουάριος 1977)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Αύγ 11, 2011 3:11 pm

Α-1 (α) Αποδείξτε ότι \left|\left|a+b \right| \right|\leq \left|\left|a \right| \right|+\left|\left|b \right| \right| για κάθε a,b\epsilon R^{n}

(β) Έστω f:R^{n}\rightarrow R^{n} συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση, a\epsilon R^{n} και detf{'}(a)\neq 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει \xi >0 ώστε \left|\left|x-a \right| \right|<\xi \Rightarrow detf{'}(a)\neq 0.


Α-2 Δώσατε τον ορισμό συναρτήσεως φραγμένης κυμάνσεως. Αποδείξτε πλήρως ότι κάθε τέτοια συνάρτηση είναι ίση προς την διαφορά δύο αυξουσών συναρτήσεων.


Α-3. Έστω f:R^{n}\rightarrow R^{n} συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση. Αποδείξτε λεπτομερώς ότι η f έχει διαφορικό σε κάθε σημείο α του R^{n} και υπολογίστε το διαφορικό αυτό.


Β-1. Έστω f,g:X\rightarrow Y συνεχείς συναρτήσεις από τον μετρικό χώρο X στον μετρικό χώρο Y, D ένα πυκνό υποσύνολο του X ώστε
D\subset \left\{x\epsilon X:f(x)=g(x) \right\}
Αποδείξτε ότι f(x)=g(x) για κάθε x\epsilon X.


Β-2. (α) Διατυπώστε προσεκτικά το προσεγγιστικό θεώρημα Stone - Weierstrass

(β) Αποδείξτε χρησιμοποιώντας το (α) ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f:\left[0,1 \right]\rightarrow R
είναι ομοιόμορφο όριο μιας ακολουθίας πολυωνύμων.

(γ) Αποδείξτε ότι αν f:\left[0,1 \right]\rightarrow R είναι συνεχής συνάρτηση και

\int_{0}^{1}{x^{n}f(x)}dx=0 για κάθε n=0,1,2,3,... τότε f(x)=0 για κάθε x\epsilon \left[0,1 \right]

Β-3. Έστω U\subseteq R^{2} ανοικτό, f:U\rightarrow R ώστε υπάρχουν οι D_{1}f(x,y),D_{2}f(x,y) και \left|D_{1}f(x,y) \right|\leq M,\left|D_{2}f(x,y) \right|\leq M για κάθε x\epsilon U. Τότε η f είναι συνεχής στο U.


Γ-1. Έστω X συμπαγής μετρικός χώρος, A_{n},B_{n}\subset X κλειστά για κάθε n=1,2,... ώστε ...\subset A_{3}\subset A_{2}\subset A_{1},

...\subset B_{3}\subset B_{2}\subset B_{1}

και \varrho (A_{n},B_{n})\rightarrow 0 . Τότε \left(\bigcap_{n=1}^{\propto }{A_{n}} \right)\bigcap{\left(\bigcap_{n=1}^{\propto }{B_{n}} \right)}\neq \left\{ \right\}.


Γ-2. Έστω f:\left[a,b \right]\rightarrow R συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση ώστε f\left(a \right)=f\left(b \right)=0 και \int_{a}^{b}{f^{2}\left(x \right)}dx=1

Αποδείξτε ότι:

(α) \int_{a}^{b}{xf\left(x \right)}f{'}\left(x \right)dx=-\frac{1}{2}

(β) \int_{a}^{b}{\left[f{'}\left(x \right) \right]^{2}dx}.\int_{a}^{b}{x^{2}f^{2}\left(x \right)dx}>\frac{1}{4}


(Να επιλέξετε 2 θέματα από την ομάδα Α, 2 από την Β και 1 από την Γ)



Λέξεις Κλειδιά:
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες