Ορισμένο ολοκλήρωμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα
Θέτουμε . Ο παρονομαστής είναι . To ολοκλήρωμα τώρα ισούταιkwstas12345 έγραψε:Άς υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: .
που είναι άμεσο.
Φιλικά,
Μιχάλης
Edit: Εκανα διόρθωση. Το αρχικό είχε τα sinh και cosh ανάποδα.
Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα
Άλλος τρόπος επιλέγοντας κατάλληλα ορίσματα και ολοκληρώνοντας πάνω στο παρακάτω σχήμα, παίρνουμε
.
[attachment=0]kwstas12345.png[/attachment]
.
[attachment=0]kwstas12345.png[/attachment]
- Συνημμένα
-
- kwstas12345.png (28.55 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές
What's wrong with a Greek in Hamburg?
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα
Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ για το σχήμα, η προσεγγισή μου είναι με μιγαδική ανάλυση.
Με το παραπάνω σχήμα ορίσαμε την ώστε να έχει branch-cut το
Για τον πρώτο κύκλο ορίζουμε όρισμα ενώ για τον δεύτερο κύκλο ορίζουμε . Θα αποδείξουμε αρχικά ότι η μιγαδική συνάρτηση
είναι συνεχής κατα μήκος του . Όταν κινούμαστε πάνω από την λωρίδα (τείνοντας να ''πέσουμε'' πάνω σε αυτή) έχουμε .
Άρα . Όταν κινούμαστε από την κάτω μεριά έχουμε
άρα και έτσι άρα είναι συνεχής στην λωρίδα . Άρα η είναι συχεχής σε όλο το εκτός από το .
Συγκεκριμένα όταν κινούμαστε πάνω στην πράσινη γραμμή (από την πάνω μεριά) από τον δεξί προς τον αριστερό κύκλο έχουμε . Ενώ όταν κινούμαστε από την κάτω λωρίδα από τον αριστερό πρός τον δεξί: .
Έτσι έχουμε στον δρόμο ολοκλήρωσης: . Όμως .
Και όταν . Όμοια . Aρα .
Όμως είναι γνωστό ότι όπου είναι ο συντελεστής του στο ανάπτυγμα Laurent της .
Είναι γνωστό ότι: . Επειδή: .
Έτσι .
Από τις δυο τελευταίες παρενθέσεις θέλουμε μόνο τον , και αφού πολλαπλασιαστεί με όλα τα υπόλοιπα ο ζητούμενος συντελεστής είναι ο . Άρα
και έτσι
Με το παραπάνω σχήμα ορίσαμε την ώστε να έχει branch-cut το
Για τον πρώτο κύκλο ορίζουμε όρισμα ενώ για τον δεύτερο κύκλο ορίζουμε . Θα αποδείξουμε αρχικά ότι η μιγαδική συνάρτηση
είναι συνεχής κατα μήκος του . Όταν κινούμαστε πάνω από την λωρίδα (τείνοντας να ''πέσουμε'' πάνω σε αυτή) έχουμε .
Άρα . Όταν κινούμαστε από την κάτω μεριά έχουμε
άρα και έτσι άρα είναι συνεχής στην λωρίδα . Άρα η είναι συχεχής σε όλο το εκτός από το .
Συγκεκριμένα όταν κινούμαστε πάνω στην πράσινη γραμμή (από την πάνω μεριά) από τον δεξί προς τον αριστερό κύκλο έχουμε . Ενώ όταν κινούμαστε από την κάτω λωρίδα από τον αριστερό πρός τον δεξί: .
Έτσι έχουμε στον δρόμο ολοκλήρωσης: . Όμως .
Και όταν . Όμοια . Aρα .
Όμως είναι γνωστό ότι όπου είναι ο συντελεστής του στο ανάπτυγμα Laurent της .
Είναι γνωστό ότι: . Επειδή: .
Έτσι .
Από τις δυο τελευταίες παρενθέσεις θέλουμε μόνο τον , και αφού πολλαπλασιαστεί με όλα τα υπόλοιπα ο ζητούμενος συντελεστής είναι ο . Άρα
και έτσι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες