Σύγκλιση Σειράς

ttheodoros · #1

Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (\sin{k})}{k}$

#2

Η ακολουθία $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{\nu}\sin({\sin{k}})$ , $\nu\in\mathbb{N}$ , των μερικών αθροισμάτων της ακολουθίας $\bigl({\sin({\sin{\nu}})}\bigr)_{\nu\in\mathbb{N}}$ είναι φραγμένη(*) και επειδή η ακολουθία $\bigl({\frac{1}{\nu}}\bigr)_{\nu\in\mathbb{N}}$ είναι φθίνουσα και μηδενική η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{+\infty}\frac{\sin({\sin{\nu}})}{\nu}$ συγκλίνει.

(*) Μένει να αποδειχθεί.

ttheodoros · #3

Συγκλίνει ομοιόμορφα?

#4

ttheodoros έγραψε:Συγκλίνει ομοιόμορφα?

Θεόδωρε

δεν είναι σειρά συναρτήσεων για να εξετάσουμε ομοιόμορφη σύγκλιση.
Μήπως εννοείς απόλυτα ;

Υ.Γ. Όσο για την σύγκλιση, το δύσκολο κομμάτι(*) το "παρέκαμψα" αλλά είναι, όντος, δύσκολο κομμάτι!
Ίσως δοθεί μια διαφορετική απόδειξη από κάποιον άλλον.

caley-hamilton · #5

grigkost έγραψε:Η ακολουθία $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{\nu}\sin({\sin{k}})$ , $\nu\in\mathbb{N}$ , των μερικών αθροισμάτων της ακολουθίας $\bigl({\sin({\sin{\nu}})}\bigr)_{\nu\in\mathbb{N}}$ είναι φραγμένη(*) και επειδή η ακολουθία $\bigl({\frac{1}{\nu}}\bigr)_{\nu\in\mathbb{N}}$ είναι φθίνουσα και μηδενική η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{+\infty}\frac{\sin({\sin{\nu}})}{\nu}$ συγκλίνει.

(*) Μένει να αποδειχθεί.

Εδώ χρησιμοποιήσατε το κριτήριο Dirichlet,έτσι δεν είναι?

#6

caley-hamilton έγραψε:
grigkost έγραψε:Η ακολουθία $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{\nu}\sin({\sin{k}})$ , $\nu\in\mathbb{N}$ , των μερικών αθροισμάτων της ακολουθίας $\bigl({\sin({\sin{\nu}})}\bigr)_{\nu\in\mathbb{N}}$ είναι φραγμένη(*) και επειδή η ακολουθία $\bigl({\frac{1}{\nu}}\bigr)_{\nu\in\mathbb{N}}$ είναι φθίνουσα και μηδενική η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{+\infty}\frac{\sin({\sin{\nu}})}{\nu}$ συγκλίνει.

(*) Μένει να αποδειχθεί.
Εδώ χρησιμοποιήσατε το κριτήριο Dirichlet,έτσι δεν είναι?

Ναι. Παράλειψή μου, αλλά είναι γνωστό κριτήριο.

#7

Κάποιες σκέψεις: Ισχυρίζομαι ότι $\displaystyle{\left|\sum_{k=1}^{n}\sin(\sin(k))\right|\leq\left|\sum_{k=1}^{n}\sin(k)\right|}$ .

Αν ισχύει ο ισχυρισμός, τότε επειδή

$\displaystyle{\left|\sum_{k=1}^{n}\sin(k)\right|=\left|\mathfrak Im\left(\sum_{k=1}^{n}e^{ik}\right)\right|=\left|\mathfrak Im\frac{e^i-e^{i(n+1)}}{1-e^i}\right|\leq\left|\frac{e^i-e^{i(n+1)}}{1-e^i}\right|\leq\frac{2}{|1-e^i|}}$ τελειώσαμε.

Μελετώντας την $\displaystyle{\sin(\sin(x))}$ παρατηρούμε ότι

στα διαστήματα $[2k\pi,(2k+1)\pi]$ όπου $k\geq0$ είναι $\displaystyle{0\leq\sin(\sin x)\leq \sin x}$ με τις ισότητες να ισχύουν μόνο στα άκρα και αντίστοιχα

στα διαστήματα $\displaystyle{[(2k+1)\pi,(2k+2)\pi]}$ όπου $k\geq0$ είναι $\sin x\leq\sin(\sin x)\leq0$ με τις ισότητες να ισχύουν μόνο στα άκρα.

Κάνουμε ακολούθως την εξής παρατήρηση:

Έστω δυο πεπερασμένα σύνολα πραγματικών $A=\{a_{1},\ldots,a_{n}\}$ και $B=\{b_{1},\ldots,b_{n}\}$ και αντίστοιχες διαμερίσεις τους $A_{1}=\{a_{i_{1}},\ldots,a_{i_{k}}\},\,\,A_{2}=\{a_{i_{k+1}},\ldots,a_{i_{n}}\}$ και $B_{1}=\{b_{i_{1}},\ldots,b_{i_{k}}\},\,\,B_{2}=\{b_{i_{k+1}},\ldots,b_{i_{n}}\}$ σε μη αρνητικά και αρνητικά στοιχεία αντίστοιχα όπου $a_{i_{1}}\geq b_{i_{1}}\ldots a_{i_{k}}\geq b_{i_{k}}$ και $a_{i_{k+1}}\leq b_{i_{k+1}}\ldots a_{i_{n}}\leq b_{i_{n}}$ .

Τότε ισχύει $\displaystyle{\left|\sum_{m=1}^{n}b_{m}\right|\leq\left|\sum_{m=1}^{n}a_{m}\right|}$ .

Από τις

και

προκύπτει ότι τα σύνολα $A=\{\sin 1,\ldots,\sin n\}$ και $B=\{\sin(\sin 1),\ldots,\sin(\sin n)\}$ έχουν τις παραπάνω ιδιότητες κάτι που αποδεικνύει τον αρχικό ισχυρισμό.

#8

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:<...>

Έστω δυο πεπερασμένα σύνολα πραγματικών $A=\{a_{1},\ldots,a_{n}\}$ και $B=\{b_{1},\ldots,b_{n}\}$ και αντίστοιχες διαμερίσεις τους $A_{1}=\{a_{i_{1}},\ldots,a_{i_{k}}\},\,\,A_{2}=\{a_{i_{k+1}},\ldots,a_{i_{n}}\}$ και $B_{1}=\{b_{i_{1}},\ldots,b_{i_{k}}\},\,\,B_{2}=\{b_{i_{k+1}},\ldots,b_{i_{n}}\}$ σε μη αρνητικά και αρνητικά στοιχεία αντίστοιχα όπου $a_{i_{1}}\geq b_{i_{1}}\ldots a_{i_{k}}\geq b_{i_{k}}$ και $a_{i_{k+1}}\leq b_{i_{k+1}}\ldots a_{i_{n}}\leq b_{i_{n}}$ .

Τότε ισχύει $\displaystyle{\left|\sum_{m=1}^{n}b_{m}\right|\leq\left|\sum_{m=1}^{n}a_{m}\right|}$ .
<...>

Αναστάση, κάτι ... δεν μου αρέσει. Οι συνθήκες που βάζεις μου φαίνεται ότι ισοδυναμούν με $|a_k| \ge |b_k|$ . Αυτό όμως δεν δίνει το συμπέρασμα που γράφεις. Π.χ. $a_{2k+1}=4, b_{2k+1}=2, \, a_{2k}=-4, \, b_{2k}=-3, \forall k$ . Εδώ το μερικό άθροισμα των a_k

εναλλάσεται $4, \,0, \,4, \,0, ...$ αλλά των b_k

είναι μη κάτω φραγμένα.

Ίσως κάνω λάθος γιατί είμαι κουρασμένος από τα τρεχάματα σήμερα, αλλά δες το.

Φιλικά,

Μιχάλης

#9

Δάσκαλε έχεις δίκιο. Υπάρχει λάθος.

ttheodoros · #10

Γρηγόρη έχεις δίκαιο για την ομοιόμορφη σύγκλιση. Λάθος μου.

Σύγκλιση Σειράς

Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Re: Σύγκλιση Σειράς

Μέλη σε σύνδεση