Ρητός ή άρρητος;

#1

Ο αριθμός $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac {1}{3^{n^2}}$ είναι ρητός ή άρρητος;

#2

s.kap έγραψε:Ο αριθμός $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac {1}{3^{n^2}}$ είναι ρητός ή άρρητος;

Καλόόόό.

Αφού το μυαλό μου πήγε σε διάφορα περίεργα, να μια λύση της μιας γραμμής που δείχνει ότι ο αριθμός αυτός είναι άρρητος:

Στο τριαδικό σύστημα γραφής δεν είναι περιοδικός. Τελειώσαμε!

Άντε, και ένα ακόμη σχόλιο: Στο τριαδικό σύστημα η γραφή του αριθμού αυτού είναι 0,10010000100000010...

όπου τα

είναι στις θέσεις $1^2, \, 2^2, \ 3^2, \, ...$ . Τα διαδοχικά κενά μεταξύ τους είναι (n+1)^2-n^2-1 = 2n

, δηλαδή μεγαλώνουν. Άρα είναι με περοδικός.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Μιχάλη, καλησπέρα.

Αυτό είχα και εγώ υπόψη μου. Είναι μία πολύ έξυπνη άσκηση των Ρουμάνων Valentin Matrosenco και Ion Savu.

peter · #4

2. Έστω

γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Είναι ο αριθμός $\displaystyle A=\sum_{k=1}^\infty \frac{2^{n_k}}{n_k!}$ ρητός;

#5

peter έγραψε:2. Έστω γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Είναι ο αριθμός $\displaystyle A=\sum_{k=1}^\infty \frac{2^{n_k}}{n_k!}$ ρητός;

Όχι είναι άρρητος. Αρχικά παρατηρούμε ότι η μεγαλύτερη δύναμη του 2 η οποία διαιρεί το (2^m)!

είναι η

. Επομένως αν ο

είναι ρητός, για κάποιο αρκετά μεγάλο

ο παρανομαστής του θα διαιρείται με τον αριθμό $\displaystyle{ 2^{m-2}\frac{(2^m)!}{2^{2^m}}}$ .

Ισχυρίζομαι τώρα ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{(2^m)!}{2^{2^m}} \cdot \frac{2^n}{n!}}$ είναι ακέραιος για κάθε $n \leqslant 2^m$ .

Πράγματι, εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι το 2^n

δεν διαιρεί το

και άρα η μεγαλύτερη δύναμη του 2 που διαιρεί το (2^m)!/n!

είναι μεγαλύτερη ή ίση με (2^m-1) - (n-1) = 2^m - n

.

Επομένως, για

αρκετά μεγάλο, θα έχουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{ 2^{m-2}\frac{(2^m)!}{2^{2^m}} \sum_{\{k:n_k > 2^m\}} \frac{2^{n_k}}{(n_k)!}}$ είναι ακέραιος. Αλλά

$\displaystyle{ 0 < 2^{m-2}\frac{(2^m)!}{2^{2^m}} \sum_{\{k:n_k > 2^m\}} \frac{2^{n_k}}{(n_k)!} \leqslant 2^{m-2}\frac{(2^m)!}{2^{2^m}} \sum_{n=2^m + 1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}}$
$\displaystyle{= 2^{m-2}\left(\frac{2}{2^m+1} + \frac{4}{(2^m+1)(2^m+2)} + \cdots \right) < 2^{m-2}\sum_{k=1}^{\infty} (2^{1-m})^k = \frac{2^{m-1}}{2^m - 2} < 1}$ , άτοπο.

Ρητός ή άρρητος;

Ρητός ή άρρητος;

Re: Ρητός ή άρρητος;

Re: Ρητός ή άρρητος;

Re: Ρητός ή άρρητος;

Re: Ρητός ή άρρητος;

Μέλη σε σύνδεση