Τριγωνομετρικά αθροίσματα

peter · #1

1. Έστω $n\in \mathbb N$ και $\displaystyle S_n(x)=1+\sum_{k=1}^n\frac{\cos (kx)}{k}$ . Δείξτε ότι S_n(x)>0

για κάθε $n\in \mathbb N$ και κάθε $x\in (0,\pi)$ .

2. Δείξτε ότι για κάθε $n\in \mathbb N$ και κάθε $x\in (0,\pi)$ ισχύει: $\displaystyle T_n(x)= \sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k}>0$ .

3. Έστω $F(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(\frac{x}{n})$ . Δείξτε ότι η

είναι καλά ορισμένη και συνεχής συνάρτηση σ' όλο το $\mathbb R$ . Είναι φραγμένη;

ttheodoros · #2

Peter για τα πρώτα 2 ερωτήματα υπάρχουν 20 αποδείξεις τουλάχιστον (κατα τον Askey).
Δες τα εξής Βιβλία:

Askey andrew and roy_ Special Functions

Szego_Orthogonal polynomials

και τις παραπομπές που αναφέρονται εκεί...

#3

Και γιατί να μη δούμε κι εδώ μερικές;
Δεν καταλαβαίνω το ύφος της παραπομπής σας,συγχωρέστε με!

peter · #4

Εντάξει, σίγουρα είναι κλασικές, αλλά τα κλασικά είναι ωραία! Η πρώτη οφείλεται στον Young ενώ, η δεύτερη στους Fejer-Gronwall-Jackson. Σε πολλά σημεία της βιβλιογραφίας αποδίδονται και στον Vietoris. Δεν ξέρω ποια είναι η αλήθεια!

Μάλιστα ο Askey (μαζί με τον Steinig) σ' ένα άρθρο τους το 1974 είχαν γράψει γι' αυτά τα αθροίσματα γενικεύσεις που οι συντελεστές δεν είναι κατ' αναγκην από την αρμονική ακολουθία.

Ίσως θα μπορούσαμε να δούμε αυτή την απόδειξη ή κάποια από τις 20 τουλάχιστον. Απ' όσο ξέρω δεν είναι πολύ μεγάλες.

Τριγωνομετρικά αθροίσματα

Τριγωνομετρικά αθροίσματα

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα

Μέλη σε σύνδεση