Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Οκτ 17, 2011 4:03 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε 2^{y+1}f(x)+2^{x+1}f(y) = f(x+y)+4^yf(x-y) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Οκτ 17, 2011 5:04 pm

Θέτουμε \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{2^x}}. Τότε η g είναι συνεχής και 2g(x)+2g(y) = g(x+y)+g(x-y) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Για x=y=0 προκύπτει g(0)=0.
Για x=y προκύπτει g(2x)=4g(x).
Για y=-x παίρνουμε g(-x)=g(x), δηλαδή η g είναι άρτια.
Έστω n θετικός ακέραιος. Θα δείξουμε ότι g(mx)=m^2g(x) για κάθε θετικό ακέραιο m με m\leq n και κάθε x πραγματικό.
Για n=1 προφανώς ισχύει.
Αν ισχύει για κάποιον n θετικό ακέραιο θα δείξουμε ότι ισχύει και για τον n+1.
Είναι 2g(nx)+2g(x)=g((n+1)x)+g((n-1)x) οπότε g((n+1)x)=\left(n+1 \right)^2g(x).
Αν τώρα m θετικός ακέραιος, θα είναι \displaystyle{m^2g(\frac{n}{m}x)=g(nx)=n^2g(x)}.
Άρα g(rx)=r^2g(x) για κάθε r θετικό ρητό. Λόγω συνέχειας και επειδή είναι η g είναι άρτια θα ισχύει για κάθε r πραγματικό.
Για x=1 προκύπτει g(r)=ar^2 για κάθε r πραγματικό όπου a=g(1).
Άρα f(x)=a2^xx^2. Όλες αυτές επαληθεύουν την αρχική.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης