Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Οκτ 17, 2011 10:25 pm

Πως υπολογίζεται το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}} ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11266
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 17, 2011 10:43 pm

parmenides51 έγραψε:Πως υπολογίζεται το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}} ;
Θέτουμε \sqrt x =y οπότε το δοθέν ισούται

\displaystyle = 2\int_0^{\infty} y^2 e^{-y^2}dy = -\int_0^{\infty} y \left(e ^{-y^2}\right){'} dy =  -\left [y e^{-y^2} \right]_0^{\infty} + \int _0^{\infty} e^{-y^2}dy

\displaystyle = 0 +\int _0^{\infty} e^{-y^2}dy

To τελευταίο ολοκλήρωμα είναι γνωστό ( = \frac {\sqrt {\pi}}{2}). Είναι κάπως δύσκολο να βγει, αλλά υπάρχουν πολλές ευφυέστατες μέθοδοι εύρεσης. Θυμάμαι ότι πρόσφατα ο Ροδόλφος (BORIS) είναι βάλει μία στοιχειώδη μέθοδο στο φόρουμ.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Οκτ 17, 2011 10:45 pm

parmenides51 έγραψε:Πως υπολογίζεται το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}} ;
Είναι με παραγοντική

\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}=-e^{-x}\sqrt{x}\Big|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}dx}.}

Εύκολα έχουμε

\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\sqrt{x}=0} (π.χ. L'Hospital).

Αν κάνουμε στο ολοκλήρωμα την αλλαγή \displaystyle{\sqrt{x}=t,} αναγόμαστε στο

\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2dx}} το οποίο είναι γνωστό ότι ισούται με \displaystyle{\frac{\sqrt{\pi}}{2}.}

Άρα αυτή είναι η τιμή που ψάχνουμε.

EDIT* Με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου, αλλά το αφήνω. :)


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Οκτ 17, 2011 10:49 pm



Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Οκτ 17, 2011 10:54 pm

Ευχαριστώ, είχα ξεχάσει πως με μη λυκειακά μέσα υπολογίζεται και το \displaystyle{\int _0^{\infty} e^{-y^2}dy} :oops:


caley-hamilton
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 20, 2011 1:05 am

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από caley-hamilton » Δευ Οκτ 17, 2011 11:05 pm

parmenides51 έγραψε:Πως υπολογίζεται το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}} ;
Θα χρησιμοποιήσεις την περίφημη συνάρτηση Γάμμα του Euler.(Για υπενθύμηση κοίτα εδώ.)
Έχουμε: \Gamma(x)=\displaystyle{\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1}dt.
Τώρα εμείς για να υπολογίσουμε το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα βρούμε το \displaystyle\Gamma(\frac{3}{2}).Eπίσης θεωρούμε γνωστά: \displaystyle\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} και \displaystyle\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).
Oπότε \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{t}e^{-t}dx}}=\displaystyle\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}}.



Edit:Γράφω αργά και με πρόλαβαν αρκετοί...Την αφήνω για το κόπο μου και μόνο....Μπράβο σ'όλους στο :logo: .


Εάν επρόκειτο να ξυπνήσω έπειτα από έναν ύπνο χιλίων ετών,
η πρώτη μου ερώτηση θα ήταν:Αποδείχθηκε η υπόθεση Riemann;

David Hilber (1862-1943)
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Οκτ 18, 2011 12:54 pm

Με δυναμοσειρές υπολογίζεται το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}} ;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες