Όριο και παράγωγοι

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Όριο και παράγωγοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Τετ Νοέμ 09, 2011 2:26 am

Έστω f:[0,\infty)\to \mathbb R μια C^1 συνάρτηση ώστε \displaystyle \lim_{x\to \infty}[f{'}(x)-(f(x))^4]=0. Δείξτε ότι \displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=0.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2245
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Όριο και παράγωγοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Νοέμ 18, 2011 9:22 am

I.αν\displaystyle{f=c}κοντά στο +άπειρο τότε \displaystyle{c=0} και ισχύει το ζητούμενο

ΙΙ.αν δεν ισχύει το Ι. και υπαρχει ακολουθία \displaystyle{x_n:f'(x_n)=0,x_n\to +\infty}δηλαδή η \displaystyle{f'} έχει άπειρες ρίζες \displaystyle{x_n\to +\infty} τότε στο \displaystyle{(x_n,x_{n+1}) \Rightarrow f'\ne 0\Rightarrow f} γν. μον στο \displaystyle{[x_n,x_{n+1}]} (συνέχεια,Darboux), οπότε θα εχει και μεγιστο σε ακρο του\displaystyle{[x_n,x_{n+1}]} . Αφού όμως στο άκρο έχουμε ρίζα της παραγώγου από την αρχική σχέση προκύπτει ότι η \displaystyle{f(x_n)\to 0} άρα και η \displaystyle{f} είναι μηδενική αφού \displaystyle{|f(x)|\le max|f(x_n)|,|f(x_{n+1})|}

ΙΙΙ.\displaystyle{f'\ne 0} σε διάστημα \displaystyle{[a,+\infty)} αρα η \displaystyle{f^4 }έχει όριο m ως μονότονη τότε η \displaystyle{f^4\to m^4\ge 0} ή \displaystyle{f^4\to +\infty}

IIIa.αν \displaystyle{m^4>0\Rightarrow } (από τον εψιλοντικό ορισμό γισ \displaystyle{\epsilon=m^4/2} ) ότι \displaystyle{f'(x)>m^4/2=b>0\Rightarrow f(x)-bx} γν.αύξουσα άρα \displaystyle{f(x)-bx>f(a)-ba\Rightarrow f\to +\infty} άτοπο

IIIb.\displaystyle{f^4\to +\infty \Rightarrow f'\to +\infty \Rightarrow f}γν αυξουσα άρα \displaystyle{f\to +\infty} .Από τον εψιλοντικό είναι\displaystyle{|f'-f^4|<\epsilon \Rightarrow |f'/f^4-1|<\frac{\epsilon }{f^4}<\epsilon\Rightarrow 1-\epsilon<f'/f^4<1+\epsilon \Rightarrow 1/2<f'/f^4\Rightarrow x/2+1/3f^3} φθίνουσα άτοπο αφού \displaystyle{x/2+1/3f^3\to +\infty}

IIIc. άρα m=0

ευχαριστώ για την επισήμανση Peter.
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Δευ Νοέμ 21, 2011 7:55 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Όριο και παράγωγοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Παρ Νοέμ 18, 2011 8:17 pm

R BORIS έγραψε: ΙΙ.αν \displaystyle{f'\ne 0 } σε κάθε διάστημα \displaystyle{[a,+\infty)} αλλά η \displaystyle{f'} άπειρες ρίζες \displaystyle{x_n\to +\infty} τότε στο \displaystyle{(x_n,x_{n+1}) \Rightarrow f'\ne 0\Rightarrow f} γν. μον στο \displaystyle{[x_n,x_{n+1}]} (συνέχεια,Darboux), οπότε θα εχει και μεγιστο σε ακρο του\displaystyle{[x_n,x_{n+1}]} . Αφού όμως στο άκρο έχουμε ρίζα της παραγώγου από την αρχική σχέση προκύπτει ότι η \displaystyle{f(x_n)\to 0} άρα και η \displaystyle{f} είναι μηδενική αφού \displaystyle{|f(x)|\le max|f(x_n)|,|f(x_{n+1})|}
Καλησπέρα Boris. Εδώ μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό; Θέλεις να το εξηγήσεις λίγο παραπάνω με τις ρίζες τί γίνεται;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όριο και παράγωγοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιουν 06, 2020 11:42 pm

R BORIS έγραψε:
Παρ Νοέμ 18, 2011 9:22 am

ΙΙ.αν δεν ισχύει το Ι. και υπαρχει ακολουθία \displaystyle{x_n:f'(x_n)=0,x_n\to +\infty}δηλαδή η \displaystyle{f'} έχει άπειρες ρίζες \displaystyle{x_n\to +\infty} τότε στο \displaystyle{(x_n,x_{n+1}) \Rightarrow f'\ne 0\Rightarrow f} γν. μον στο \displaystyle{[x_n,x_{n+1}]} (συνέχεια,Darboux), οπότε θα εχει και μεγιστο σε ακρο του\displaystyle{[x_n,x_{n+1}]} . Αφού όμως στο άκρο έχουμε ρίζα της παραγώγου από την αρχική σχέση προκύπτει ότι η \displaystyle{f(x_n)\to 0} άρα και η \displaystyle{f} είναι μηδενική αφού \displaystyle{|f(x)|\le max|f(x_n)|,|f(x_{n+1})|}
Δεν μου είναι ξεκάθαρο αυτό το μέρος της απόδειξης. Υποθέτει ότι η παράγωγος έχει διαδοχικές ρίζες και εντός τους δεν

μηδενίζεται. Δεν βλέπω γιατί πρέπει να ισχύει κάτι τέτοιο. Γράφω κάπως διαφορετικά αυτό το κομμάτι. Στα επόμενα η

απόδειξή μου δεν διαφέρει σε κάτι. Απλά για λόγους πληρότητας θα την γράψω. Επίσης δεν βλέπω που χρειάζεται η

συνέχεια της παραγώγου που δίνεται στην εκφώνηση.

Θεωρούμε το σύνολο A=\left \{ x\in [0,+\infty): x θέση τοπικού ακροτάτου της f.

Αν το A δεν είναι άνω φραγμένο τότε θεωρούμε τυχούσα ακολουθία (x_n)\in A και έχουμε

\lim_{x_n\rightarrow +\infty,x_n\in A}{f}'(x_n)-\left ( f(x_n) \right )^4=0\Rightarrow \lim_{x_n\rightarrow +\infty,x_n\in A}-\left ( f(x_n) \right )^4=0

\Rightarrow \lim_{x_n\rightarrow +\infty,x_n\in A} f(x_n) =0.

Επειδή πάνω στις θέσεις τοπικών ακροτάτων το όριο της f είναι 0 παίρνουμε τελικά \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0

(δείτε https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=61&t=67282)

Αν το A είναι άνω φραγμένο τότε τελικά η f είναι γνησίως μονότονη και έχει όριο

l\in\mathbb{R}\cup \left \{ -\infty,+\infty \right \}. Άρα η f^4 έχει όριο l^4\in[0,+\infty ].

Αν l^4>0 τότε \lim_{x\rightarrow +\infty}{f}'(x)=l^4 οπότε f(x)\sim l^4x\rightarrow +\infty (άτοπο)

Αν l^4=+\infty τότε

\lim_{x\rightarrow \infty}f^4(x)\left ( \dfrac{{f}'(x)}{\left ( f(x) \right )^4} -1\right )=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{{f}'(x)}{\left ( f(x) \right )^4} =1

\Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty}\left (\dfrac{1}{\left ( f(x) \right )^3} \right )' =-3

οπότε \dfrac{1}{\left ( f(x) \right )^3} \sim -3x\rightarrow -\infty το οποίο είναι άτοπο.

Τελικά l^4=0\Rightarrow l=0 και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο και παράγωγοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 07, 2020 6:36 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Ιουν 06, 2020 11:42 pm

Επίσης δεν βλέπω που χρειάζεται η

συνέχεια της παραγώγου που δίνεται στην εκφώνηση.
Πράγματι δεν χρειάζεται η συνέχεια της παραγώγου.
Υποθέτω στην λύση που είχε ολοκλήρωνε παράγωγο και για αυτό την έβαλε.

Να σημειώσω ότι το 4 είναι ''παπούτσι''
Δηλαδή η μόνη ιδιότητα του που χρειάζεται είναι ότι είναι μεγαλύτερο του 1

Η ίδια απόδειξη του Λάμπρου δουλεύει για το


Έστω f:[0,\infty)\to \mathbb R μια C^1 συνάρτηση ώστε \displaystyle \lim_{x\to \infty}[f{'}(x)-|f(x)|^a]=0 όπου a>1.

Δείξτε ότι \displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=0.



προφανώς για a=1 εχουμε την f(x)=e^x και δεν ισχύει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες