2 ολοκληρώματα

mathxl · #1

1) $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{32 x^{2}\left( x^{2}+2\right)\left( x^{2}+1\right)}{\left( 3+\left( x^{2}+1\right)^{2}\right)^{3}}\, dx ,$
2) $\displaystyle\int_{0}^{1}\;\;\sqrt{\;x\cdot\left(1-x+\sqrt{\;1+x\cdot(2-3x)\;}\right)\;}\;\;\textbf dx$
Μια μικρή βοήθεια συμμάζεμα του πρώτου ολοκληρώματος...φαίνεται ότι δεν μπορώ να το διορθώσω...
Ευχαριστώ για την διόρθωση
Για το 1 το αποτέλεσμα είναι $\displaystyle{\displaystyle \boxed{\frac{7\pi}{12\sqrt 6}}. }$

Ωmega Man · #2

Το 1ο το έλυσες ; Εγώ βγάζω 33π/8.

Ωmega Man · #3

Πήρα ως

την παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα και μετά:
$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(z)dz=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}f(z)dz$ =
$\pi i Res(f(z);z=2i)=\frac{33\pi}{8}$ .
Η παραπάνω είναι λάθος ξέχασα το τετράγωνο από τον παρονομαστή της x^2+1

και έτσι τα πράγματα περιπλέκονται.....

mathxl · #4

Για το 1ο έχουμε ότι γράφεται $\displaystyle{\int\limits_0^{ + \infty } {4x\left( {{x^2} + 2} \right){{\left( { - \frac{1}{{{{\left[ {3 + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right]}^2}}}} \right)}^\prime }dx} }$
Δεν ξέρω εάν αυτό σε βοηθάει αλλά θα ήθελα να δω μία λύση με τα υπόλοιπα

Ωmega Man · #5

Το απλοποίησα από την απροσεξία μου πάρα πολύ. Υπολόγισα το,
$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{32(x^2+2)(x^2+1)}{(4+x^2)^3}dx=\frac{33\pi}{8}$ .

mathxl · #6

Αφού έχω χρόνο όρεξη και αυπνία, συνεχίζω
Αν Ι το ολοκλήρωμα στο 1
τότε όπως έγραψα και μετά την παραγοντική είναι
$\displaystyle{\begin{array}{l} I = \displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{12{x^2} + 8}}{{{{\left[ {3 + {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right]}^2}}}} dx = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{12{x^2} + 8}}{{{{\left[ {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2} - 2{x^2}} \right]}^2}}}} dx = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{12{x^2} + 8}}{{{{\left[ {\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 2} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)} \right]}^2}}}} dx = \\ = \displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 2} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)}}\left[ {\frac{{2\sqrt 2 x + 2}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 2}} - \frac{{2\sqrt 2 x - 2}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 2}}} \right]dx} = \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} = \displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\left[ {\frac{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{8}x + \frac{1}{4}}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 2}} + \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{8}x + \frac{1}{4}}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 2}}} \right]\left[ {\frac{{2\sqrt 2 x + 2}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 2}} - \frac{{2\sqrt 2 x - 2}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 2}}} \right]dx} = \\ = \displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } { - \frac{1}{8}\left[ {\frac{{2x - 2\sqrt 2 }}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 2}} - \frac{{2x + 2\sqrt 2 }}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 2}}} \right]\left[ {\frac{{2x + \sqrt 2 }}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 2}} - \frac{{2x - \sqrt 2 }}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 2}}} \right]dx} \\ \end{array}}$
έπεται συνέχεια από κάποιον; Μπορεί το τελευταίο βήμα που έκανα να είναι ασύμφορο. Για την ώρα το αφήνω. Από εκεί που το πήρα δεν το έλυσαν για ευνόητους λόγους

mathxl · #7

.... ή μπορούμε να κάνουμε ότι έκανε ο kaymant εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1583269#1583269
απομένει το δεύτερο ολοκλήρωμα

mathxl · #8

Για το (2) μπορούμε με την αντικατάσταση Euler http://planetmath.org/encyclopedia/Eule ... ation.html
να το μετασχηματίσουμε στο (1). Θέτουμε $\sqrt {1 + 2x - 3{x^2}} = t\left( {1 - x} \right)$

ΥΓ: το μαθημάτικα 7 τραβάει χειρόφρενο στο αόριστο

2 ολοκληρώματα

2 ολοκληρώματα

Re: 2 ολοκληρώματα

Re: 2 ολοκληρώματα

Re: 2 ολοκληρώματα

Re: 2 ολοκληρώματα

Re: 2 ολοκληρώματα

Re: 2 ολοκληρώματα

Re: 2 ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση