Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ημίτονα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ημίτονα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Δεκ 09, 2011 10:29 pm

Ας υπολογισθεί το \displaystyle{\int_{0}^{\pi/4}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)\,dx}.
Πηγή Ρουμανία


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5335
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ημίτονα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Δεκ 11, 2011 5:35 pm

Αναστάση αν το ολοκλήρωμα το ονομάσουμε I και λαμβάνοντας υπ’ όψιν συζυγείς παραστάσεις κ.τ.λ. και με κάθε επιφύλλαξη λόγω κάποιων "διαισθητικών μείον" γιά την συνέχεια, έχουμε:

\begin{array}{*{20}c} 
   {I = \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{4}} {\ln \frac{{\left( {1 + \sin x} \right)^2 }} 
{{\cos ^2 x}}dx = 2\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{4}} {\ln \left( {1 + \sin x} \right)dx - 2\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{4}} {\ln \left( {\cos x} \right)dx = } } } }  \\ 
   {4\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{4}} {\ln \left( {\sin \frac{x} 
{2} + \sin \left( {\frac{\pi } 
{2} - \frac{x} 
{2}} \right)} \right)dx - 2\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{4}} {\ln \left( {\cos x} \right)dx = } \frac{\pi } 
{2}\ln 2 + 4\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{4}} {\ln \cos \left( {\frac{x} 
{2} - \frac{\pi } 
{4}} \right)dx - } } }  \\ 
   {2\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{4}} {\ln \left( {\cos x} \right)dx = \frac{\pi } 
{2}\ln 2 + 8\int\limits_{ - \frac{\pi } 
{4}}^{ - \frac{\pi } 
{8}} {\ln \left( {\cos x} \right)dx - 2\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{4}} {\ln \left( {\cos x} \right)dx = } } ...} }  \\ 
 
 \end{array}


S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ημίτονα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Δεκ 16, 2011 6:09 pm

και μετά; Τα δυο τελευταία ολοκληρώματα είναι πολύ ζόρικα και βγαίνουν συναρτήσει του αριθμού Catalan. Το γνωστό που έχουμε ξανασυζητήσει είναι σε διάστημα ολοκλήρωσης μήκους \pi/2.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5335
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ημίτονα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Δεκ 16, 2011 7:24 pm

S.E.Louridas έγραψε:.... και με κάθε επιφύλλαξη λόγω κάποιων "διαισθητικών μείον" γιά την συνέχεια, έχουμε:...
Αναστάση είδωμεν

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ημίτονα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Παρ Ιαν 06, 2012 8:49 pm

\displaystyle{\int\limits_0^{\pi /4} {\ln \left( {\frac{{1 + \sin \left( x \right)}}{{1 - \sin \left( x \right)}}} \right)dx}  = \mathop  = \limits^{x = \pi /2 - y}  = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /2} {\ln \left( {\frac{{1 + \cos \left( y \right)}}{{1 - \cos \left( y \right)}}} \right)dy}  = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /2} {\ln \left( {\frac{{2{{\cos }^2}\left( {y/2} \right)}}{{2{{\sin }^2}\left( {y/2} \right)}}} \right)dy}  =  - 2\int\limits_{\pi /4}^{\pi /2} {\ln \left( {\tan \left( {y/2} \right)} \right)dy}  = }

\displaystyle{ = \mathop  = \limits^{y/2 = x}  =  - 4\int\limits_{\pi /8}^{\pi /4} {\ln \left( {\tan \left( x \right)} \right)dx}  = \mathop  = \limits^{\tan \left( x \right) = y}  =  - 4\int\limits_{\sqrt 2  - 1}^1 {\frac{{\ln \left( y \right)}}{{1 + {y^2}}}dy}  =  - 4\int\limits_{\sqrt 2  - 1}^1 {\ln \left( y \right)\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}{y^{2n}}} dy}  = }

\displaystyle{ =  - 4\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}\int\limits_{\sqrt 2  - 1}^1 {\ln \left( y \right){y^{2n}}dy} }  = \mathop  = \limits^{\sqrt 2  - 1 = a}  =  - 4\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( { - \ln a\frac{{{a^{2n + 1}}}}{{2n + 1}} - \frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^{2n + 1}}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}}}} \right)} }

\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\int\limits_0^{\pi /4} {\ln \left( {\frac{{1 + \sin \left( x \right)}}{{1 - \sin \left( x \right)}}} \right)dx}  = 4\ln a\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{a^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}}  + 4\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}}}}  - 4\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{a^{2n + 1}}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}}}} }} με \displaystyle{{a = \sqrt 2  - 1}}

Όμως \displaystyle{\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}}  = \arctan x} http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_ma ... cal_series , οπότε \displaystyle{\boxed{\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{a^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}}  = \arctan \left( {\sqrt 2  - 1} \right) = \frac{\pi }{8}}}

και \displaystyle{\boxed{\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}}}}  = G}} όπου G: η σταθερά του Catalan με G = 0,915965594177... http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_constant

Επίσης \displaystyle{\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}}  = \arctan x \Rightarrow \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n}}}}{{2n + 1}}}  = \frac{{\arctan x}}{x} \Rightarrow \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}\int\limits_0^a {{x^{2n}}dx} }  = \int\limits_0^a {\frac{{\arctan x}}{x}dx}  = \int\limits_0^{\sqrt 2  - 1} {\frac{{\arctan x}}{x}dx} } .

και τελικά \displaystyle{\boxed{\int\limits_0^{\pi /4} {\ln \left( {\frac{{1 + \sin \left( x \right)}}{{1 - \sin \left( x \right)}}} \right)dx}  = \frac{\pi }{2}\ln \left( {\sqrt 2  - 1} \right) + 4G - 4\int\limits_0^{\sqrt 2  - 1} {\frac{{\arctan x}}{x}dx} }}

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Επειδή \displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{\arctan x}}{x}dx}  = G\left( {Catalan} \right)} υποψιάζομαι ότι το ολοκλήρωμα \displaystyle{{\int\limits_0^{\sqrt 2  - 1} {\frac{{\arctan x}}{x}dx} }} μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της G , δεν κατάφερα όμως να το υπολογίσω .. anyway .. που λέει κι ο φίλος μου ο Αναστάσης.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ημίτονα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Ιαν 31, 2012 10:50 pm



Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ημίτονα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Φεβ 07, 2012 11:55 am

Σεραφείμ έγραψε:για το ολοκλήρωμα \displaystyle{{\int\limits_0^{\sqrt 2  - 1} {\frac{{\arctan x}}{x}dx} }}
Μπορεί κανείς να δει και εδώ σελίδες 26-27. Δε φαίνεται να υπολογίζεται συναρτήσει γνωστών σταθερών.

Για την ιστορία το θέμα αυτό το είχαν βάλει στο mateforum στον κατάλογο με τα σχολικά, όπως φαίνεται και στο πάνω λινκ (και σημειωτέον ότι το έβαλε ο Cezar Lupu, που δεν έιναι και τυχαίος). Και έπειτα κάποιος άλλος ήρθε και το έβαλε εδώ... Πάλι καλά που δεν το έβαλε στα σχολικά κι αυτός... Anyway, τουλάχιστον έγινε κουβέντα.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης