Tρία τεσσάρια!
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Tρία τεσσάρια!
Φτιάχνουμε αριθμητικές παραστάσεις χρησιμοποιώντας ακριβώς τρεις φορές το ψηφίο και όσες φορές θέλουμε τα σύμβολα ( το σύνηθες σύμβολο του ακεραίου μέρους) καθώς επίσης δεξιές και αριστερές παρενθέσεις. Να αποδειχθεί ότι κάθε ακέραιος μπορεί να είναι η τιμή μιας τέτοιας παράστασης.
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Λέξεις Κλειδιά:
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
Re: Tρία τεσσάρια!
Μια ιδέα:
Παίρνουμε τους αριθμούς με ριζικά αντίστοιχα στον παρονομαστή.
Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε αυθαίρετα μεγάλους φυσικούς αφού η ακολουθία τείνει στο καθώς το πλήθος των ριζικών τείνει στο άπειρο.
Για να τους πάρουμε όλους αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία έχει ένα όρο σε κάθε διάστημα όπου φυσικός. Το μπορούμε να το πάρουμε λίγο μεγαλύτερο από το αν χρειαστεί γράφοντας τους αριθμούς μέχρι το με άλλο τρόπο.
Προς το παρόν δεν μπορώ να προχωρήσω. Ίσως και να μην ισχύει.
Κάθε βοήθεια δεκτή!
Παίρνουμε τους αριθμούς με ριζικά αντίστοιχα στον παρονομαστή.
Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε αυθαίρετα μεγάλους φυσικούς αφού η ακολουθία τείνει στο καθώς το πλήθος των ριζικών τείνει στο άπειρο.
Για να τους πάρουμε όλους αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία έχει ένα όρο σε κάθε διάστημα όπου φυσικός. Το μπορούμε να το πάρουμε λίγο μεγαλύτερο από το αν χρειαστεί γράφοντας τους αριθμούς μέχρι το με άλλο τρόπο.
Προς το παρόν δεν μπορώ να προχωρήσω. Ίσως και να μην ισχύει.
Κάθε βοήθεια δεκτή!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Tρία τεσσάρια!
Πρόκειται για το πρόβλημα Ε 3363 από τη στήλη προβλημάτων του Αmerican Monthly.
Η λύση που ακολουθεί είναι του Marcin Kuczma και δημοσιεύτηκε στο τεύχος του Φεβρουαρίου 1992.
Αν είναι δύο μη αρνητικοί ακέραιοι τότε θεωρούμε τον αριθμό .
Εφόσον , κάθε μπορεί να προκύψει με τρία τεσσάρια και τα επιτρεπτά σύμβολα.
Αφού για , προκύπτει .
Έτσι .
Από εδώ προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της είναι πυκνό στο . Άρα άπειρες φορές για κάθε θετικό ακέραιο .
Η λύση που ακολουθεί είναι του Marcin Kuczma και δημοσιεύτηκε στο τεύχος του Φεβρουαρίου 1992.
Αν είναι δύο μη αρνητικοί ακέραιοι τότε θεωρούμε τον αριθμό .
Εφόσον , κάθε μπορεί να προκύψει με τρία τεσσάρια και τα επιτρεπτά σύμβολα.
Αφού για , προκύπτει .
Έτσι .
Από εδώ προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της είναι πυκνό στο . Άρα άπειρες φορές για κάθε θετικό ακέραιο .
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot], MSN [Bot] και 12 επισκέπτες