Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Δεκ 20, 2011 4:14 pm

Αν \displaystyle{I_{n}=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{n+1}}\,dx} με n>0, δείξτε ότι \displaystyle{\frac{\ln2}{n}<I_{n}<\frac{\ln2}{n}+\frac{1}{4n^2}}.


Από College Mathematical Journal.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Δεκ 21, 2011 12:06 pm

Ισχύει (με \displaystyle x \to \frac{1}{x}) \displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{1 + x^{n+1}} dx οπότε

\displaystyle n I_n = \int_0^1 \frac{n x^{n-1}}{1 + x^{n+1}} dx = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^{1 + \frac{1}{n}}} dx > \int_0^1 \frac{1}{1 + x} dx = \ln 2.

Επίσης, από ΘΜΤ έχουμε \displaystyle  \frac{1}{1 + x^{1 + \frac{1}{n}}} -  \frac{1}{1 + x} = - \frac{1}{n} \frac{x^\xi \ln x}{(1 + x^\xi)^2} < - \frac{x \ln x}{n} με \displaystyle \xi \in \left( 1, 1 + \frac{1}{n} \right).

Ετσι, \displaystyle n I_n - \ln 2 = \int_0^1 \left( \frac{1}{1 + x^{1 + \frac{1}{n}}} -  \frac{1}{1 + x} \right) dx < - \frac{1}{n} \int_0^1 x \ln x dx = \frac{1}{4n}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Απρ 22, 2012 1:08 pm

Να πω εδώ ενημερωτικά για όποιον ενδιαφέρεται ότι είναι δυνατόν να βρεθεί ολόκληρο το ανάπτυγμα Taylor του I_{n-1} στο +\infty. Το θέμα με αυτή τη διατύπωση το έχω στείλει σε ένα περιοδικό. Αν και όποτε δημοσιευθεί θα ενημερώσω το τόπικ να στείλει λύση αν θέλει κάποιος (στο περιοδικό).


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης