μεσημεριανό ολοκλήρωμα 45

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 45

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Δεκ 28, 2011 3:54 pm

\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{\ln x}}{{1 + x}}} \right)}^2}dx} }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 45

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Δεκ 28, 2011 5:36 pm

Με παραγώγιση της σειράς \displaystyle{\frac{1}{{1 + x}} = \sum\limits_0^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^n}} } προκύπτει ότι \displaystyle{\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {n{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{x^{n - 1}}} } .

Τότε \displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}dx}  = \int\limits_0^1 {{{\ln }^2}x\sum\limits_{n = 1}^\infty  {n{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{x^{n - 1}}} dx}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {n{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\int\limits_0^1 {{{\ln }^2}x \cdot {x^{n - 1}}dx} }  = \mathop  = \limits^{\left[ 1 \right]}  = }

\displaystyle{ = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {n{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\frac{2}{{{n^3}}}}  = 2\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^2}}}}  = \mathop  = \limits^{\left[ 2 \right]}  = 2\frac{{{\pi ^2}}}{{12}} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}}.

\displaystyle{\left[ 1 \right]:} Παρογοντική ολοκλήρωση με όρια , \displaystyle{\left[ 2 \right]:} Ότι ισχύει \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^2}}}}  = \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}} .. το έχουμε υπολογίσει πολλές φορές.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες