Προσθετικές συναρτήσεις

#1

Να βρεθούν όλες οι προσθετικές συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , των οποίων το γράφημα είναι κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$

#2

s.kap έγραψε:Να βρεθούν όλες οι προσθετικές συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , των οποίων το γράφημα είναι κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$

Απάντηση: $f(x)=cx, \, \forall x$ για κάποια σταθερά

.

Είναι γνωστό ότι οι προσθετικές συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα f(q)=cq

για κάποια σταθερά

και κάθε $q\in \mathbb Q$ (η απόδειξη είναι όπως στην λύση της συναρτησιακής εξίσωσης Cauchy: δείχνει πρώτα κανείς επαγωγικά ότι f(n)=nf(1)=cn

και μετά $mf\left(\frac {n}{m}\right) = f\left(m\cdot\frac {n}{m}\right)= f(n)=cn$ και λοιπά).

Έστω $x\in \mathbb R$ . Υπάρχει ακολουθία ρητών με $q_n \to x$ . Παρατηρούμε ότι $f(q_n)=cq_n\to cx$ . Άρα $\left ( q_n, \, f(q_n) \right) \to (x, \, cx) \in \mathbb R^2$ . Από την υπόθεση της κλειστότητας του γραφήματος έπεται $(x, \, cx)= (u,f(u))$ για κάποιο

, οπότε

και τελικά f(x)= cx

.

Φιλικά,

Μιχάλης

Προσθετικές συναρτήσεις

Προσθετικές συναρτήσεις

Re: Προσθετικές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση