μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 89

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 89

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιαν 04, 2012 1:40 am



Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 89

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Ιαν 04, 2012 9:13 am

Υπολογίζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα \displaystyle{I = \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} }

\displaystyle{I = \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx}  = \mathop  = \limits^{x = \sqrt y }  = \frac{1}{2}\int {\frac{y}{{\sqrt {1 - y} }}dy}  = \mathop  = \limits^{\sqrt {1 - y}  = z}  = \int {\left( {{z^2} - 1} \right)dz}  = \frac{1}{3}{z^3} - z = .. =  - \frac{1}{3}\sqrt {1 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2} \right)} .

Τότε \displaystyle{\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)dx}  =  - \frac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2} \right)} \right)}{'}}\ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)dx} \mathop  = \limits^{\left[ * \right]} \frac{2}{3}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2} \right)}}{{1 - {x^2}}}dx}  = }

\displaystyle{ = \frac{2}{3}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx}  = \mathop  = \limits^{x = \sin y}  = \frac{2}{3}\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\left( {{{\sin }^2}\left( y \right) + 2} \right)dy} \mathop  = \limits^{\left[ {**} \right]} \frac{1}{3}\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\left( {5 - \cos 2y} \right)dy}  = \frac{{5\pi }}{3}}

\displaystyle{\left[ * \right]:} Τα όρια \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left[ {\sqrt {1 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2} \right)\ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)} \right]} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\sqrt {1 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2} \right)\ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)} \right]} προκύπτουν (κλασσικά) ίσα με μηδέν και \displaystyle{{\left( {\ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)} \right){'}} = \frac{2}{{1 - {x^2}}}}

\displaystyle{\left[ {**} \right]:} Φανερά \displaystyle{\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\cos 2ydx}  = 0} .


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης