Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Mulder
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 22, 2009 6:43 pm

Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mulder » Πέμ Ιαν 05, 2012 10:19 pm

Ζητώ μια βοήθεια από το :santalogo: . Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:R\to [0,+\infty) ώστε το \int_{0}^{\infty} f(t)dt να είναι πραγματικός αριθμός , αλλά το όριο \lim_{t\to +\infty} f(t) να μην υπάρχει ;

(Aν δεν είναι συνεχής έχω βρει αρκετά αντιπαραδείγματα.)

Επίσης υπάρχει τέτοια συνεχής συνάρτηση με την επιπλέον ιδιότητα f(n)>a>0 για κάποιο a\in R και για κάθε n\in N ?

Σε κάθε περίπτωση, αν f(t)\geq 0 και το \int_{0}^{\infty} f(t)dt υπάρχει , υπάρχει τότε κατ΄ανάγκη ακολουθία (x_n) στο R με x_n\to +\infty και f(x_n)\to 0 . Αν ναι, γίνεται να μου το αποδείξει κάποιος αυτό α)με απαγωγή σε άτοπο και β)με κατασκευή ;

(δεν είναι κάποια άσκηση βιβλίου,απλά αναρωτιέμαι τι γίνεται όταν έχουμε αυτά τα δεδομένα για την f - και είναι ισοδύναμο με αντίστοιχο προβληματισμό σχετικά με τη παράγωγο αντί για ολοκλήρωμα , επίσης θυμίζει κάπως και κάποιες ιδιότητες των σειρών, άρα πρέπει να είναι σημαντικό)



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιαν 05, 2012 10:59 pm

Mulder έγραψε:....
Σε κάθε περίπτωση, αν f(t)\geq 0 και το \int_{0}^{\infty} f(t)dt υπάρχει , υπάρχει τότε κατ΄ανάγκη ακολουθία (x_n) στο R με x_n\to +\infty και f(x_n)\to 0 . Αν ναι, γίνεται να μου το αποδείξει κάποιος αυτό α)με απαγωγή σε άτοπο και β)με κατασκευή ;
...
Αν η f είναι συνεχής, αυτό ισχύει.

Για κάθε n\geq 1, από το ΘΜΤ Ολοκληρωτικού λογισμού υπάρχει x_n\in [n,2n] τέτοιο ώστε

f(x_n)=\dfrac{\int_n^{2n}f(t)\,dt}{n}

Αφού f(t)\geq 0 για κάθε t\geq 0 και το \int_{0}^{\infty} f(t)dt συγκλίνει έχουμε

0\leq f(x_n) \leq \dfrac{\int_{0}^{\infty} f(t)dt}{n}.

Αφήνοντας n\to +\infty από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι

\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} f(x_n)=0},

ενώ x_n\geq n για κάθε n\in \mathbb{N}, κι άρα

\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} x_n=+\infty}

Ελπίζω, αυτό να απαντά σε κάποιο από τα ερωτήματά σου.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Mulder
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 22, 2009 6:43 pm

Re: Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mulder » Παρ Ιαν 06, 2012 12:08 am

Ναι, αν η f είναι συνεχής τότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με τα δεδομένα g'(t)\geq 0 και οτι υπάρχει το \lim_{t\to +\infty} g(t) ,

οπότε με Θ.Μ.Τ. στα [n,n+1] κατασκευάζεις την ακολουθία g'(x_n)=g(n+1)-g(n) \to 0 , που είναι η ίδια ιδέα με αυτά που έγραψες.

Το ενδιαφέρον για αυτό το ερώτημα είναι τι γίνεται όταν έχουμε οτι η f είναι απλά ολοκληρώσιμη . Ευχαριστώ για την ενασχόληση μέχρι εδώ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12431
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 06, 2012 3:37 am

Mulder έγραψε:Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:R\to [0,+\infty) ώστε το \int_{0}^{\infty} f(t)dt να είναι πραγματικός αριθμός , αλλά το όριο \lim_{t\to +\infty} f(t) να μην υπάρχει ;

(Aν δεν είναι συνεχής έχω βρει αρκετά αντιπαραδείγματα.)
Ναι υπάρχει. Το στάνταρ παράδειγμα είναι η f(t) = \sin (t^2). Δεν γράφω την απόδειξη γιατί είναι αργά και, κυρίως, γιατί υπάρχει στα βιβλία. Πάντως βασίζεται στη αλλαγή μεταβλητής x^2=y.
Ένας άλλος τρόπος να φτιάξεις παράδειγμα είναι να ορίσεις την f σταθερή c_n = n στο [n, n+1/n^3] και να εκμεταλλευτείς τα μεσοδιαστήματα για να επεκτείνεις την f σε συνεχή αλλά φροντίζοντας να είναι να είναι κυρίως ίση με 0 (χρειάζεται απότομο πέσιμο λίγο μετά το n+1/n^3).

Φιλικά,

Μιχάλης


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 07, 2012 11:02 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mulder έγραψε:Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:R\to [0,+\infty) ώστε το \int_{0}^{\infty} f(t)dt να είναι πραγματικός αριθμός , αλλά το όριο \lim_{t\to +\infty} f(t) να μην υπάρχει ;

(Aν δεν είναι συνεχής έχω βρει αρκετά αντιπαραδείγματα.)
Ναι υπάρχει. Το στάνταρ παράδειγμα είναι η f(t) = \sin (t^2). Δεν γράφω την απόδειξη γιατί είναι αργά και, κυρίως, γιατί υπάρχει στα βιβλία. Πάντως βασίζεται στη αλλαγή μεταβλητής x^2=y...).

Φιλικά,

Μιχάλης
Πράγματι, κλασσικό παράδειγμα! Έπρεπε να το σκεφτούμε....

Ας παρατηρήσουμε ότι η f στο παράδειγμα του κ. Μιχάλη δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής. Διότι για ομοιόμορφα συνεχή συνάρτηση ο ισχυρισμός ισχύει. Ψάξε στο internet για Barbalat's lemma


π.χ. δες σελ. 97 στο http://rms.unibuc.ro/gazeta/gma/2011/gm ... ntinut.pdf

ή δες το http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... ats-lemma/

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης