f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2931
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιαν 13, 2012 4:46 am

Αν για την φραγμένη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} και γιά κάθε x,y στό \mathbb{R}, ισχύει f({x+y})=f({x})+f({y}) , τότε, πάντοτε, ισχύει και f\bigl({\sum_{\nu=1}^{+\infty}{x_{\nu}}}\bigr)=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{+\infty}{f({x_{\nu}})} , για κάθε x_{i}\in\mathbb{R}\,, \ i=1,2,\ldots ;

[edit:13/1/12 10:31] Το ίδιο ερώτημα με την f να μην είναι φραγμένη;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13577
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 13, 2012 12:02 pm

Για φραγμένη: Είναι απλό να δούμε επαγωγικά ότι f(nx) = nf(x), \, \, \forall x, \, \forall n \in \mathbb N. Άρα |f(x)| \le \frac{1}{n} |f(nx)| \le  \frac{M}{n}, όπου M φράγμα της f. Έπεται ότι f(x)=0, \forall x, δηλαδή η f είναι η μηδενική συνάρτηση, οπότε το αποδεικτέο είναι άμεσο.

Φιλικά,

Μιχάλης


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13577
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: f(x+y)=f(x)+f(y) - γενίκευση;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 13, 2012 12:34 pm

grigkost έγραψε:<...>
[edit:13/1/12 10:31] Το ίδιο ερώτημα με την f να μην είναι φραγμένη;
Δεν ισχύει.

Είναι γνωστό ότι υπάρχουν ασυνεχείς f που ικανοποιούν την Cauchy. Για μία τέτοια ασυνεχή, έστω (a_n) ακολουθία με
\lim a_n = a αλλά \lim f(a_n) \ne f(a). Ορίζουμε x_n = a_n - a_ {n-1} (εδώ a_0=0). Τότε \displaystyle{ \sum _1^{\infty} f(x_n)= \lim \sum _1^Nf(x_n) = \lim  \sum _1^N(f(a_n)-f(a_{n-1})) = \lim f(a_N) \ne f(a) = f(\sum _1^{\infty} x_n) }, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες