Όριο Ολοκληρώματος.

Ωmega Man · #1

Έστω $f_{n}:[0,1]\longmapsto R$ και ότι υπάρχει

τέτοια ώστε $f_{n}\longrightarrow f$ ομοιόμορφα. Να δειχτεί ότι :
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{1/n}^{1}f_{n}(x)\;dx=\int_{0}^{1} f(x)\;dx$ .

#2

Mancar Camoran έγραψε:Έστω $f_{n}:[0,1]\longmapsto R$ και ότι υπάρχει τέτοια ώστε $f_{n}\longrightarrow f$ ομοιόμορφα. Να δειχτεί ότι :
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{1/n}^{1}f_{n}(x)\;dx=\int_{0}^{1} f(x)\;dx$ .

Έστω $\varepsilon>0$ και
έστω $M:=\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|$ . $\Big($ Υποθέτω ότι πρόκειται για ολοκλήρωμα Riemann

, συνεπώς η

είναι φραγμένη, άρα $M<\infty$ $\Big)$ .
$\bullet$ Επιλέγω $n_{1}\in\mathbb{N}$ ώστε: $n\geq n_{1}\Rightarrow \frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$ ,
$\bullet$ Επιλέγω $n_{2}\in\mathbb{N}$ ώστε: $n\geq n_{2}\Rightarrow \displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\big|f_{n}(x)-f(x)\big|<\frac{\varepsilon}{2}$ .
$\bullet$ Θέτω $n_{0}:=\max\{n_{1},n_{2}\}$ . Είναι:

$\displaystyle n\geq n_{0}\Rightarrow \Big|\int_{\frac{1}{n}}^{1}f_{n}(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx\Big|=\Big|\int_{\frac{1}{n}}^{1}\big(f_{n}(x)-f(x)\big)\,dx-\int_{0}^{\frac{1}{n}}f(x)\,dx\Big|\leq \int_{\frac{1}{n}}^{1}|f_{n}(x)-f(x)|\,dx+\int_{0}^{\frac{1}{n}}|f(x)|\,dx\leq\frac{n-1}{n}\frac{\varepsilon}{2}+\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ .

Ωmega Man · #3

Πολύ ωραία!

Όριο Ολοκληρώματος.

Όριο Ολοκληρώματος.

Re: Όριο Ολοκληρώματος.

Re: Όριο Ολοκληρώματος.

Μέλη σε σύνδεση