Βοήθεια σε άσκηση στην Ανάλυση Ι (λύθηκε)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Απάντηση
napoleon
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 21, 2009 5:35 pm

Βοήθεια σε άσκηση στην Ανάλυση Ι (λύθηκε)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από napoleon » Τρί Ιαν 31, 2012 5:14 pm

Καλησπέρα σας,αυτή η άσκηση με έχει παιδέψει αρκετά,όποιος/όποια έχει κάποια ιδέα θα βοηθήσει πολύ. :D
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Να προσδιοριστεί το πολυώνυμο P(x) με P(0)=0,που ικανοποιεί τη συναρτησιακή σχέση:

P(f(x))=f(P(x)) ,για κάθε x στο \mathbb{R},

όπου fείναι συνάρτηση τέτοια,ώστε f(0)>0 και f(x)>x ,για κάθε x > 0.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
τελευταία επεξεργασία από napoleon σε Τετ Φεβ 01, 2012 4:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Λέξεις Κλειδιά:
πολυώνυμο
συναρτησιακή
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15762
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βοήθεια σε άσκηση στην Ανάλυση Ι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 01, 2012 2:06 am

napoleon έγραψε:Καλησπέρα σας,αυτή η άσκηση με έχει παιδέψει αρκετά,όποιος/όποια έχει κάποια ιδέα θα βοηθήσει πολύ. :D
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Να προσδιοριστεί το πολυώνυμο P(x) με P(0)=0,που ικανοποιεί τη συναρτησιακή σχέση:

P(f(x))=f(P(x)) ,για κάθε x στο \mathbb{R},

όπου fείναι συνάρτηση τέτοια,ώστε f(0)>0 και f(x)>x ,για κάθε x > 0.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Απάντηση: P(x)=x, \, \forall x \in \mathbb R.

Για τυχαίο a>0 θεωρώ την f(x)=x^2+x+a. Αυτή ικανοποιεί τις υποθέσεις f(0)>0 και f(x)>x , για κάθε x \in \mathbb R άρα και για x>0. Aπό την P(f(x))=f(P(x)) έχουμε
P(x^2+x+a)=(P(x))^2 + P(x)+a.

Για x=0 δίνει P(a)=(P(0))^2 + P(0)+a=a. Όμως a τυχαίο θετικό, οπότε συμπεραίνουμε ότι για άπειρο πλήθος από a ισχύει P(a)=a. Αφού P πολυώνυμο, έπεται P(x)=x, \, \forall x \in \mathbb R, η οποία και ικανοποιεί τις αρχικές.

Φιλικά,

Μιχάλης


Κορυφή
napoleon
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 21, 2009 5:35 pm

Re: Βοήθεια σε άσκηση στην Ανάλυση Ι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από napoleon » Τετ Φεβ 01, 2012 7:29 am

Ευχαριστώ πολύ!Ωραία λύση!


Κορυφή
dennys
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Βοήθεια σε άσκηση στην Ανάλυση Ι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Τετ Φεβ 01, 2012 8:27 am

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
αποσυρθηκε


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Κορυφή
margk
Δημοσιεύσεις: 272
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2009 11:45 pm

Re: Βοήθεια σε άσκηση στην Ανάλυση Ι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margk » Τετ Φεβ 01, 2012 10:41 am

Κύριε Λάμπρου , είναι εύκολο να μας εξηγήσετε τι είναι αυτό που
σας ''έδειξε'' την πολυωνυμική συνάρτηση f(x) που χρησιμοποιήσατε; Σίγουρα ο τρόπος σκέψης σας είναι χρήσιμος
για όλους μας. Ευχαριστώ.


MARGK
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2377
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:
Επικοινωνία R BORIS

Re: Βοήθεια σε άσκηση στην Ανάλυση Ι (λύθηκε)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Φεβ 09, 2012 6:50 pm

έστω το πολυώνυμο \displaystyle{Q(x)=p(x)-x}

το Q έχει ρίζα το 0
επίσης εχει ρίζα το \displaystyle{f(0)} διότι \displaystyle{Q(f(0))=P(f(0))-f(0)=f(P(0))-f(0)=f(0)-f(0)=0}
ακόμη \displaystyle{Q(f(f(0)))=P(f(f(0)))-f(f(0))=f(P(f(0)))-f(f(0))=f(f(R(0)))-f(f(0))=f(f(0))-f(f(0))=0}
kok
ακόμη\displaystyle{ f(0)>0,f(f(0))>f(0)>0,...} kok
ετσι οι άπειροι αριθμοί \displaystyle{0,f(0),f(f(0)),...} είναι όλοι ρίζες του Q το οποίο ετσι είναι το μηδενικό πολυώνυμο άρα \displaystyle{P(x)=x,x\in R}


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες