βραδυνό ολοκλήρωμα 150

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

βραδυνό ολοκλήρωμα 150

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Φεβ 19, 2012 9:58 pm

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin x\sin \left( {nx} \right)}}{{{x^2}}}} \,dx,\;  n \in {\mathbb{N}^ * }}

Απάντηση


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 150

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Φεβ 20, 2012 12:06 pm

Το ολοκλήρωμα γράφεται ως \displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{ \cos [ (n-1) x] - \cos [ (n+1) x ]}{x^2} \mathrm{d}x}

Ολοκληρώνουμε την \displaystyle{\frac{e^{i (n-1) z} - e^{i (n+1) z}}{2z^2}} σε ημικύκλιο με κέντρο το 0 και στο θετικό φανταστικό ημιεπίπεδο. Στο 0 η συνάρτηση έχει απλό πόλο υπολοίπου -i, οπότε το παρακάμπτουμε από τα αρνητικά φανταστικά μέρη. Το ολοκλήρωμα θα έχει τιμή 2 \pi i \times (-i) = 2 \pi και θα εκφράζεται ως :

\displaystyle{\int_{-M}^M \frac{e^{i (n-1) x} - e^{i (n+1) x}}{2x^2} \mathrm{d} x + \int_{- \pi}^0  \frac{e^{i (n-1) \epsilon e^{i \theta}} - e^{i (n+1) \epsilon e^{i \theta}}}{2\epsilon^2 e^{2 i \theta}} i \epsilon e^{i \theta} \mathrm{d} \theta + \int_0^{\pi}  \frac{e^{i (n-1) M e^{i \theta}} - e^{i (n+1) M e^{i \theta}}}{2 M^2 e^{2 i \theta}} i M e^{i \theta} \mathrm{d} \theta}

Παίρνοντας όρια \displaystyle{M \to + \infty}, \displaystyle{\epsilon \to 0} και πραγματικά μέρη καταλήγουμε σε

\displaystyle{\int_{-\infty}^{+ \infty} \frac{\cos [(n-1) x] - \cos [(n+1) x]}{2x^2} \mathrm{d} x + \pi = 2 \pi}, οπότε

\displaystyle{\int_{-\infty}^{+ \infty} \frac{ \sin x \sin (nx)}{x^2} \mathrm{d} x = \pi}


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 150

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Δευ Φεβ 20, 2012 1:39 pm

Με πραγματική Ανάλυση (Μετασχηματισμοί Laplace).

\displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin x\sin \left( {nx} \right)}}{{{x^2}}}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty  {\left( {\cos \left( {n - 1} \right)x - \cos \left( {n + 1} \right)x} \right)\left( {\int\limits_0^\infty  {y{e^{ - xy}}dy} } \right)dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty  {y\left( {\int\limits_0^\infty  {\left( {\cos \left( {n - 1} \right)x - \cos \left( {n + 1} \right)x} \right){e^{ - xy}}dx} } \right)dy}  =}

\displaystyle{= \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty  {y\left( {\frac{y}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2} + {y^2}}} - \frac{y}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {y^2}}}} \right)dy}  = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \int\limits_0^M {\left( {\frac{{{y^2}}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2} + {y^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {y^2}}}} \right)dy}  =}

\displaystyle{= \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \left( {\left( {M - \left( {n - 1} \right)\arctan \frac{M}{{n - 1}}} \right) - \left( {M - \left( {n + 1} \right)\arctan \frac{M}{{n + 1}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left( {n + 1} \right)\frac{\pi }{2} - \left( {n - 1} \right)\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \boxed{\int\limits_{ - \infty }^\infty  {\frac{{\sin x\sin \left( {nx} \right)}}{{{x^2}}}dx}  = \pi }} .


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες