μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Αύγ 01, 2009 2:12 pm

\displaystyle \int_0^ \infty {\frac{1}{{(1 + {x^a})(1 + {x^2})}}} dx,a > 0

Άλλαξα την εκφώνηση.

Ευχαριστώ τον Τάσο Κοτρώνη και τον persona no grata


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Σεπ 02, 2009 8:39 am

Τώρα μάλιστα ...


Έστω \displaystyle{I=\int_{0}^{\infty }{\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}}. Τότε με την αντικατάσταση \displaystyle{x=\frac{1}{u}} προκύπτει ... \displaystyle{I=\int_{0}^{\infty }{\frac{u^{a}}{(u^{2}+1)(u^{a}+1)}du}=\int_{0}^{\infty }{\frac{x^{a}}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}} οπότε

\displaystyle{2I=\int_{0}^{\infty }{\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}+\int_{0}^{\infty }{\frac{x^{a}}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}=\int_{0}^{\infty }{\frac{1+x^{a}}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}=\int_{0}^{\infty }{\frac{1}{x^{2}+1}dx}}.

Με την αντικατάσταση \displaystyle{x=tan{u}} προκύπτει ότι \displaystyle{2I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{1du}=\frac{\pi }{2}}

Συνεπώς \displaystyle{I=\frac{\pi }{4}}
τελευταία επεξεργασία από Σεραφείμ σε Τρί Αύγ 03, 2010 2:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Σεπ 02, 2009 11:28 am

Καλημέρα.
Μία άλλη λύση
\begin{array}{l} 
 \displaystyle\ I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{(1 + {x^\alpha })(1 + {x^2})}}} dx\mathop  = \limits_{dx = \frac{{dt}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}t}}}^{x = \varepsilon \varphi t} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + \varepsilon {\varphi ^\alpha }t}}} dt =  \\  
  = \displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }t}}{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }t + \eta {\mu ^\alpha }t}}} dt\mathop  = \limits_{dt =  - du}^{t = \frac{\pi }{2} - u} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\eta {\mu ^\alpha }u}}{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }u + \eta {\mu ^\alpha }u}}} dx = J \\  
 \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {I + J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dt = \frac{\pi }{2}}  \\ 
   {I = J}  \\ 
\end{array}} \right\} \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} \\  
 \end{array}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Σεπ 02, 2009 1:48 pm

Η απευθείας
mathxl έγραψε:\displaystyle\ I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{(1 + {x^\alpha })(1 + {x^2})}}} dx\mathop  = \limits_{dx = \frac{{dt}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}t}}}^{x = \varepsilon \varphi t} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + \varepsilon {\varphi ^\alpha }t}}} dt =  \\  
  = \displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }t}}{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }t + \eta {\mu ^\alpha }t}}} dt
\color{red}=\displaystyle\frac{\frac{\pi}{2}}{2}=\frac{\pi}{4}
Όμορφη ασκησούλα!!


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες