Ολοκλήρωμα 4!

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Ολοκλήρωμα 4!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Αύγ 05, 2009 8:21 pm

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα,
\displaystyle \int_{0}^{\+\infty}\frac{1}{1+x^3}\;dx.


What's wrong with a Greek in Hamburg?

Λέξεις Κλειδιά:
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Τετ Αύγ 05, 2009 9:23 pm

Υποδειξη: Μια αρχικη ειναι η ακολουθη

\displaystyle{\int {\frac{1}{{1 + {x^3}}}dx = \frac{{Arc\tan \left( {\frac{{ - 1 + 2x}}{{\sqrt 3 }}} \right)}}{{\sqrt 3 }}}  + \frac{1}{3} \cdot \log \left( {1 + x} \right) - \frac{1}{6} \cdot \log \left( {1 - x + {x^2}} \right)} + σταθερα

(Προσωπικα με ενδιαφερε περισσοτερο ο υπολογισμος του αοριστου ολοκληρωματος)
τελευταία επεξεργασία από papel σε Πέμ Αύγ 06, 2009 12:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Αύγ 05, 2009 9:48 pm

Καλό θα ήτανε να μας πεις και τα βήματα που ακολούθησες βήμα προς βήμα.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Τετ Αύγ 05, 2009 10:44 pm

Το παραπανω αποτελει υποδειξη και οχι πληρη λυση.Ελπιζω να εγινα κατανοητος τωρα!


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Αύγ 05, 2009 10:55 pm

Εγώ για την υπόδειξη μιλάω , πως κατέληξες στην αρχική;


What's wrong with a Greek in Hamburg?
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Πέμ Αύγ 06, 2009 12:45 am

Λοιπον οπως ειπα και στην αρχη με ενδιαφερει μονο το αοριστο ολοκληρωμα:

Κανω την αναλυση σε κλασματα και θα εχω οτι :

\displaystyle{\frac{1}{{1 + {x^3}}} = \left( {\frac{1}{3}} \right) \cdot \frac{1}{{1 + x}} + \left( {\frac{1}{3}} \right) \cdot \frac{{2 - x}}{{1 - x + {x^2}}}}


Παιρνοντας τα ολοκληρωματα αντιστοιχα θα εχουμε οτι :

\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \int {\frac{1}{{1 + {x^3}}}dx = \left( {\frac{1}{3}} \right) \cdot \int {\frac{1}{{1 + x}}dx}  - \left( {\frac{1}{6}} \right) \cdot \int {\frac{{ - 1 + 2x}}{{1 - x + {x^2}}}} } dx + \left( {\frac{1}{2}} \right) \cdot \int {\frac{1}{{1 - x + {x^2}}}} dx \\  
 \int {\frac{1}{{1 + {x^3}}}dx = \frac{1}{3}} \log \left( {x + 1} \right) - \frac{1}{6} \cdot \log \left( {1 - x + {x^2}} \right) + \int {\frac{2}{{3 \cdot \left( {1 + \frac{1}{3}{{\left( { - 1 + 2x} \right)}^2}} \right)}}} dx \\  
 \int {\frac{1}{{1 + {x^3}}}} dx = \frac{1}{3} \cdot \log \left( {x + 1} \right) - \frac{1}{6} \cdot \log \left( {1 - x + {x^2}} \right) + \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot Arc\tan \left( {\frac{{ - 1 + 2x}}{{\sqrt 3 }}} \right) + c \\  
 \end{array}}


και ετσι καταληγουμε στην αρχικη.Τουλαχιστον εδω κατεληξα εγω.Αν χρειαστει μεγαλυτερη λεπτομερεια εδω ειμαστε.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Πέμ Αύγ 06, 2009 4:45 pm

Πολύ ωραία οπότε παρατηρούμε ότι το όριο του αορίστου που υπολόγισες στο άπειρο μείον το όριο στο μηδέν μας κάνουν
\displaystyle\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}. Ας δώσω το έναυσμα για κάποιον άλλο τρόπο. Αν πάρουμε επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της \displaystyle f(z)=\frac{1}{1+z^3} στο τεταρτοκύκλιο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα με αντίθετο προσανατολισμό συνόρου και για ακτίνα R>1 , κάνουμε τους υπολογισμούς και πάρουμε όριο για R\rightarrow +\infty .
Συνημμένα
New.pdf
(57.19 KiB) Μεταφορτώθηκε 22 φορές
τελευταία επεξεργασία από Ωmega Man σε Πέμ Αύγ 06, 2009 4:56 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Πέμ Αύγ 06, 2009 4:48 pm

Μπορεις να μας δωσεις τα ενδιαμεσα βηματα υπολογισμου του οριου;


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Πέμ Αύγ 06, 2009 5:31 pm

Απαντώ γρήγορα.
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left( log(x+1)^{1/3}-log(x^2-x+1)^{1/6}+\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\left(\frac{(2x-1)\sqrt{3}}{3}\right)\right)=log(1)-log(1)+\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)=-\frac{\pi\sqrt{3}}{18}.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\left( log(x+1)^{1/3}-log(x^2-x+1)^{1/6}+\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\left(\frac{(2x-1)\sqrt{3}}{3}\right)\right)=\lim_{x\rightarrow \infty}log\left(\frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt[6]{x^2-x+1}}\right)+\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\left(\frac{(2x-1)\sqrt{3}}{3}\right)=log(1)+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{6}


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2811
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Αύγ 06, 2009 8:10 pm

Αλλος τροπος (σκιαγραφηση): σπαμε το ολοκληρωμα στα δυο, απο 0 εως 1 και απο 1 εως οο, θετουμε χ = 1/ψ στο δευτερο ολοκληρωμα, οποτε τα ορια γινονται παλι 0 και 1 και η ολοκληρωτεα ψ/(1 + ψ^3), ενωνουμε τα δυο ολοκληρωματα και απλοποιουμε (1 + ψ)/(1 + ψ^3) = 1/(ψ^2 - ψ + 1).

Γιωργος Μπαλογλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ολοκλήρωμα 4!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Σάβ Αύγ 08, 2009 1:29 am

Γιώργο έξυπνος ο τρόπος σου. Ας δώσω και έναν άλλο τρόπο.
\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^3}\;dx= Res(\frac{log(z)}{1+z^3};z=e^{\frac{\pi i}{3}})+Res(\frac{log(z)}{1+z^3};z=e^{\frac{5\pi i}{3}})+Res(\frac{log(z)}{1+z^3};z=-1)=\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}.
Για τον τρόπο που προανέφερα παραπάνω ας δώσω μια υπόδειξη το ολοκλήρωμα επί του τόξου του τεταρτοκυκλίου καθώς το R\rightarrow \infty πάει στο 0.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης