Ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

vzf
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 28, 2010 11:11 pm

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vzf » Σάβ Απρ 07, 2012 3:01 am

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin((\frac{1}{2}+n)t)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt}} με \displaystyle{n\in \mathbb{N}}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Απρ 08, 2012 11:35 am

vzf έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{sin((\frac{1}{2}+n)t)}{2sin(\frac{t}{2})}dt}} με \displaystyle{n\in \mathbb{N}}.
\displaystyle{{I_n} = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{\sin \left( {\frac{1}{2} + n} \right)t}}{{2\sin \frac{1}{2}t}}dt}  = \mathop  = \limits^{t = 2x}  = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n + 1} \right)x}}{{\sin x}}dx}  = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n + 1} \right)x}}{{\sin x}}dx} } . Τότε

\displaystyle{{I_n} - {I_{n - 1}} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n + 1} \right)x}}{{\sin x}}dx}  - 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n - 1} \right)x}}{{\sin x}}dx}  = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n + 1} \right)x - \sin \left( {2n - 1} \right)x}}{{\sin x}}dx}  = }

\displaystyle{ = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\cos 2nx \cdot \sin x}}{{\sin x}}dx}  = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\cos 2nx\,dx}  = \frac{2}{n}\left[ {\sin 2nx} \right]_0^{\pi /2} = 0} . Επομένως (κάπως πρόχειρα) ..

\displaystyle{{I_n} = {I_{n - 1}} = {I_{n - 2}} = .. = {I_0} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x}}{{\sin x}}dx}  \Rightarrow \boxed{\int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{\sin \left( {\frac{1}{2} + n} \right)t}}{{2\sin \frac{1}{2}t}}dt}  = \pi }} .


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες