Θέμα γιά φοιτητές του Μαθηματικού

S.E.Louridas · #1

Α.Ε.Ι. Φυσική τοπολογία επι του R^n
Λίγο πριν:
Ας μου επιτραπεί να εκφράσω μία π ρ ο σ ω π ι κ ή άποψη.
Τα μαθηματικά ,όπως γνωρίζουμε, έχουν σήμερα εισχωρήσει παντού. ‘Ξαφνικά’ με την θεωρία των κωδίκων (Οικονομία ,τράπεζες κ. λ. π.) επανήλθε σε απόλυτα πρωταγωνιστικό ρόλο η θεωρία των αριθμών και βέβαια όλες οι επιστήμες ζητούν από τα μαθηματικά και ευτυχώς που τα μαθηματικά μπορούν να δίνουν και μακάρι να μην ‘στερέψουν’ και να συνεχίσουν να δίνουν. ΟΜΩΣ αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να αναπτύσσονται με ιλιγγιώδη ταχύτητα καινούργιες μαθηματικές ενότητες καινούργια μαθηματικά μοντέλα. Άρα είναι φυσικό η εποχή του ‘παθολόγου γιατρού για όλες τις αρρώστιες’ να πέρασε ανεπιστρεπτί δίνοντας την θέση της στην εποχή της εξειδίκευσης .Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί και δεν πρέπει ένας επιτυχημένος μαθηματικός στα διακριτά μαθηματικά να αισθάνεται άσχημα όταν δεν έχει τον ίδιο αυτοματισμό απόδοσης στην Ευκλείδεια Γεωμετρία ή όταν ένας Καθηγητής Πανεπιστημίου στην θεωρία των Γραφημάτων δεν έχει τον ίδιο αυτοματισμό απόδοσης στις διαφορικές εξισώσεις ή στο τέλος- τέλος ένας μαθηματικός του λυκείου όταν δεν έχει τον ίδιο αυτοματισμό απόδοσης στην πρακτική αριθμητική ή την τοπολογία. Έτσι λοιπόν ,πάντα κατά την άποψή μου ,ένα Μαθηματικό forum, Πάνω από όλα πρέπει να έχει Μαθηματικό Πλουραλισμό, όπως γίνεται στο δικό μας forum το mathematica χωρίς Σκοπιμότητες αλλά με γνώμονα Την Αναγκαιότητα της Μαθηματικής Γνώσης από και τον Μαθητή του Δημοτικού μέχρι και τον Μεταπτυχιακό φοιτητή ,από τον Δάσκαλο του Δημοτικού μέχρι και τον Καθηγητή του Πανεπιστημίου. Και βέβαια πάντα με γνώμονα την αποδοχή του μαθηματικού διαλόγου και της κ α λ ο π ρ ο α ί ρ ε τ η ς επιστημονικής κριτικής που μοναδικό στόχο έχει την γνώση.

Και τώρα:
Πρόβλημα ,για φοιτητές του Μαθηματικού (έχουμε φανταστεί ότι είναι εν δυνάμει μέλη της Μαθηματικής μας οικογένειας με τεράστιες προοπτικές προσφοράς;):

*Να εξεταστεί αν για την φυσική τοπολογία που ορίζεται επί του $\mathbb{R}^n$ ο χώρος έχει μια αριθμήσιμη βάση.

Λύση :
Θα στηριχτούμε στο θεωρητικό δεδομένο ,ότι η φυσική τοπολογία του
$\mathbb{R}^n$ ταυτίζεται με εκείνη που εισάγεται από την Ευκλείδεια στάθμη $\mathbb{N}_1$ επί του $\mathbb{R}^n$ . Θεωρούμε την οικογένεια
$S = \left\{ {{\rm B}\left( {\xi ,r} \right)/r \in \mathbb{Q}_ + ^ * ,\xi } \right.$ με όλες τις συντεταγμένες $\left. {\rho \eta \tau o\upsilon \varsigma } \right\}$ , ανοικτό σύνολο G και $x \in G.$ Είναι φανερό ότι το S είναι αριθμήσιμο (ισοϋσχύον με τους φυσικούς αριθμούς) .Οπότε αρκεί η οικογένεια S να αποτελεί σύστημα γειτονιών του x και μάλιστα θεμελιώδες. Από την υπόθεση προκύπτει ότι υπάρχει ανοικτή σφαίρα
${\rm B}\left( {x,r} \right) \subset G$ και
$r \in \mathbb{Q}.$ Είναι καθαρό ότι υπάρχει
$\xi \in \mathbb{R}^n ,$ με όλες τις συντεταγμένες ρητούς αριθμούς με
$d\left( {\xi ,x} \right) < \frac{r} {3} \Rightarrow x \in {\rm B}\left( {\xi ,\frac{r} {2}} \right) \subset {\rm B}\left( {x,r} \right) \subset G,$ καθότι για το τυχόν
$u \in {\rm B}\left( {\xi ,\frac{r} {2}} \right) \Rightarrow d\left( {u,x} \right) \leqslant d\left( {u,\xi } \right) + d\left( {\xi ,x} \right) < \frac{r}{2} + \frac{r}{3} < r.$

S.E.Louridas

Θέμα γιά φοιτητές του Μαθηματικού

Θέμα γιά φοιτητές του Μαθηματικού

Μέλη σε σύνδεση