Βραδυνό ολοκλήρωμα 13

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Βραδυνό ολοκλήρωμα 13

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Σεπ 11, 2009 11:29 pm

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle \int_{0}^\infty\frac{cos(t)-e^{-t}}{t}dt

Τελική απάντηση


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Βραδυνό ολκλήρωμα 13

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Σεπ 12, 2009 11:07 am

Με εφαρμογή μετασχηματισμών Laplace ...
Συνημμένα
Genikeymeno-Laplace.jpg
Genikeymeno-Laplace.jpg (27.52 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12496
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βραδυνό ολκλήρωμα 13

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 12, 2009 11:37 am

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle \int_{0}^\infty\frac{cos(t)-e^{-t}}{t}dt
Μετά την απίθανη λύση του Σεραφείμ, δίνω άλλη μία.


Θέτουμε I(x) = \displaystyle \int_{0}^\infty\frac{(cos(t)-e^{-t})e^{-xt}}{t}dt, οπότε ψάχνουμε το Ι(0).
Πρώτα από όλα παρατηρούμε ότι \lim_{x\rightarrow \infty}I(x)=0 (εδώ γίνεται εναλλαγή ορίου και ολοκλήρωσης, που μας το επιτρέπει το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης).

Από Leibniz είναι I^\prime(x) = -\displaystyle \int_{0}^\infty (cos(t)-e^{-t})e^{-xt}dt = - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x+1}
άρα I(x) = -\frac{1}{2}ln(x^2+1) + ln(x+1) + c.
Παίρνοντας όριο στο άπειρο (οι υπολογισμοί έγιναν από τον Σεραφείμ) βλέπουμε ότι 0 = 0 + c, άρα c = 0.
Τελικά I(0) = -0 + 0 = 0.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12496
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βραδυνό ολκλήρωμα 13

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 12, 2009 8:25 pm

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle \int_{0}^\infty\frac{cos(t)-e^{-t}}{t}dt
Δίνω άλλη μία λύση, με μιγαδική ολοκλήρωση.

Εξετάζουμε το I \displaystyle \int_{C}\frac{e^{iz}-e^{-z}}{z}dz όπου C ο κλειστός δρόμος στο πρώτο τεταρτημόριο που αποτελείται από
α) το μικρό τεταρτοκύκλιο ακτίνας r, β) το ευθύγραμμο τμήμα επί του πραγματικού άξονα από το (r,0) στο (R,0) (εδώ 0 < r < R), γ) μεγάλο τεταρτοκύκλιο ακτίνας R και δ) το ευθύγραμμο τμήμα επί του φανταστικού άξονα των από το (0,iR) στο (0,ir).
Έτσι 0 = I_\alpha + I_\beta + I_\gamma + I_\delta (*).
Tώρα
α) To I_\alpha τείνει στο 0 καθώς r τείνει στο 0 (στάνταρ διαδικασία που χρησιμοποιεί το γεγονός ότι limzf(z) = 0).
β) To I_\gamma τείνει στο 0 καθώς R τείνει στο άπειρο (στάνταρ διαδικασία από Λήμμα Jordan).
γ) Το I_\beta = \displaystyle \int_{r}^R\frac{e^{ix}-e^{-x}}{x}dx,
δ) Το I_\delta = -\displaystyle \int_{r}^R\frac{e^{-y}-e^{-iy}}{y}dy

Συνεπώς από την (*) και παίρνοντας όρια r τείνοντος στο 0 και R στο άπειρο, έχουμε

0 = \displaystyle \int_{0}^\infty \frac{e^{ix}-e^{-x}}{x}dx -\displaystyle \int_{0}^\infty \frac{e^{-y}-e^{-iy}}{y}dy.
Αλλάζοντας το y σε x και παίρνοντας το πραγματικό μέρος έχουμε
0 = 2\displaystyle \int_{0}^\infty\frac{cos(x)-e^{-x}}{x}dx, δηλαδή το ζητούμενο ολοκλήρωμα ισούται με 0.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης