Μιγαδική συνάρτηση f...

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5492
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Μιγαδική συνάρτηση f...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Σεπ 13, 2009 10:56 am

Πρόβλημα μιγαδικής συνάρτησης (Σημαντικό):

Θεωρούμε μιγαδική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής, με την ιδιότητα να είναι κατά τμήματα συνεχής πάνω σε φραγμένο διάστημα και επίσης περιοδική με περίοδο 2π . Θεωρούμε επίσης την σειρά Fourier της συνάρτησης f , \sum\limits_{n =  - \infty }^{ + \infty } {c_n e^{inx} } .
Θέτοντας f_m \left( x \right) = \sum\limits_{n =  - m}^{ + m} {c_n e^{inx} } ,\forall m \in \mathbb{N},\tau o\tau \varepsilon:
Α) Να αποδειχθεί ότι :
\frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx - \sum\limits_{n =  - m}^m{\left| {c_n } \right|^2 }  = \frac{1} 
{{2\pi }}} \int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|^2 dx} ,\forall m \in \mathbb{N}.
Β) Να αποδειχθεί
\sum\limits_{n = -m}^m {\left| {c_n } \right|^2 }  \leqslant \frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx} ,\forall m \in \mathbb{Z}.

Υ.Γ. Η σημαντικότητα του προβλήματος απορρέει από το γεγονός ότι μία απόδειξη της ανισότητας του Bessel πραγματοποιείται άν το χρησιμοποιήσουμε σαν λήμμα.

S.E.Louridas
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Δευ Σεπ 14, 2009 12:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12422
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μιγαδική συνάρτηση f...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 13, 2009 12:42 pm

S.E.Louridas έγραψε:Πρόβλημα μιγαδικής συνάρτησης (Σημαντικό):

Θεωρούμε μιγαδική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής, με την ιδιότητα να είναι κατά τμήματα συνεχής πάνω σε φραγμένο διάστημα και επίσης περιοδική με περίοδο 2π . Θεωρούμε επίσης την σειρά Fourier της συνάρτησης f , \sum\limits_{n =  - \infty }^{ + \infty } {c_n e^{inx} } .
Θέτοντας f_m \left( x \right) = \sum\limits_{n =  - m}^{ + m} {c_n e^{inx} } ,\forall m \in \mathbb{N},\tau o\tau \varepsilon:
Α) Να αποδειχθεί ότι :
\frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx - \sum\limits_{n =  - m}^{ + \infty } {\left| {c_m } \right|^2 }  = \frac{1} 
{{2\pi }}} \int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|^2 dx} ,\forall m \in \mathbb{N}.
Β) Να αποδειχθεί
\sum\limits_{n = 0}^m {\left| {c_n } \right|^2 }  \leqslant \frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx} ,\forall m \in \mathbb{Z}.

Υ.Γ. Η σημαντικότητα του προβλήματος απορρέει από το γεγονός ότι μία απόδειξη της ανισότητας του Bessel πραγματοποιείται άν το χρησιμοποιήσουμε σαν λήμμα.

S.E.Louridas
Σωτήρη το επικροτώ: οι ταυτότητες αυτές (τύπου Parceval) είναι πολύ σημαντικές. Ισχύουν γενικότερα σε οποιoδήποτε ορθοκανονικό σύστημα σε χώρους Hilbert.

(προσοχή σε ένα τυπογραφικό λάθος: στα Α) και Β) τα αθροίσματα να αλλάξουν (και τα δύο) σε \sum\limits_{n =  - m}^{m } {\left| {c_m } \right|^2 }.

Φιλικά,

Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5492
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδική συνάρτηση f...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Σεπ 13, 2009 3:01 pm

Δυστυχώς ο δαίμων του τυπογραφείου έμαθε computer.

Μιχάλη ,σε ευχαριστώ ειλικρινά.
Θα ακολουθήσουν σύντομα οι αποδείξεις .

Σωτήρης


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5492
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδική συνάρτηση f...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Σεπ 14, 2009 12:23 pm

Oι αποδείξεις.

Υπενθυμίζουμε ότι:
Στην περίπτωση που θεωρήσουμε Μιγαδική Συνάρτηση f που είναι ορισμένη επί του R,συνεχής κατά τμήματα σε φραγμένο διάστημα του R, περιοδική με περίοδο 2π, τότε θεωρούμε σειρά Fourier της f, την σειρά
c_0  + c_1 e^{ix}  + c_{ - 1} e^{ix}  + ... + c_n e^{inx}  + c_{ - n} e^{ - inx}  + ...,\mu \varepsilon ,c_n  = \frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)} e^{ - inx} dx,\left( {\forall n \in \mathbb{Z}} \right).
Οι c_n είναι οι συντελεστές του Fourier της f .
Απόδειξη :
Α) Έχουμε ότι:
\frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|^2 } dx = ... = \frac{1} 
{{2\pi }}\left[ {\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 } dx - \int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right) \cdot \overline {f_m \left( x \right)} dx}  - \int\limits_0^{2\pi } {f_m \left( x \right) \cdot \overline {f\left( x \right)} dx}  + \int\limits_0^{2\pi } {\left| {f_m \left( x \right)} \right|^2 dx} } \right],
Με
f_m \left( x \right) = \sum\limits_{n =  - m}^m {c_n e^{inx} }  \Rightarrow \frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)\overline {f_m \left( x \right)} dx}  = \frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)\left( {\sum\limits_{n =  - m}^m {\overline {c_n } e^{ - inx} } } \right)dx = } \sum\limits_{n =  - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2 .
Αν εργαστούμε κατά τον ίδιο τρόπο παίρνουμε ότι:
\frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\overline {f\left( x \right)} f_m \left( x \right)dx = } \frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f_m \left( x \right)} \right|^2 dx = } \sum\limits_{n =  - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2  \Rightarrow
\frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|^2 dx}  = ... = \frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx}  - \sum\limits_{n =  - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2 .

Β) Άμεση συνέπια του προηγούμενου συμπεράσματος.

Παρατήρηση :
Η ακολουθία
\sum\limits_{n =  - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2 ,m \in \mathbb{Z},είναι αύξουσα και φραγμένη άνω .Αυτό σημαίνει ότι συγκλίνει με όριο μικρότερο ή ίσο του άνω φράγματος
\frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx} ,
που σημαίνει ότι η οικογένεια
\left| {c_n } \right|^2 ,n \in \mathbb{Z},είναι αθροίσιμη .Ισχύει δε ότι :
\sum\limits_{n =  - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2  \leqslant \frac{1} 
{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|} ^2 dx,m \to \infty ,που είναι η ανισότητα του Bessel .

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης