Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

mathxl · #1

ι. Να δείξετε ότι για α>0 είναι
$\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx} = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x \cdot \sin (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}$

ιι. Να υπολογίσετε το
$\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}$ , για α>0

Σχόλιο: το ιι είναι εύκολο το (ι) πως βγαίνει;

#2

Για το (i) . Το ii ---> αύριο (το οποίο μου βγαίνει μάλλον ίσο με $\frac{\pi }{2}e ^{-a}$ )

mathxl · #3

Μμμ..ωραία.
Το δεύτερο όντως βγαίνει όσο γράφεις

#4

mathxl έγραψε:ι. Να δείξετε ότι για α>0 είναι
$\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx} = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x \cdot \sin (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}$

ιι. Να υπολογίσετε το
$\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}$ , για α>0

Σχόλιο: το ιι είναι εύκολο το (ι) πως βγαίνει;

Αν $I(a) = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}$ τότε παραγωγίζοτας ως προς a, μεταφέροντας την παράγωγο μέσα στο ολοκλήρωμα με χρήση Leibniz και με χρήση του (i) βρίσκουμε I '(a) = -I(a)

. Άρα $I(a) = Ce^{-a}$ . Για a = 0 είναι $C = I(0) = \pi/2$ (απλό και γνωστό) οπότε
$I(a) = \frac{\pi}{2}e^{-a}$ , επιβεβαιώνοντας την τιμή που έγραψε ο Σεραφείμ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

Μέλη σε σύνδεση