Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλησπέρα στο φόρουμ

Ασκηση
Θέτουμε $p(x)=\left(x^{2}-1 \right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1$ και $f:[0, 1]\rightarrow R$ με f(0)=0, $f(x)=\frac{1}{n^{3/2}}p\left(2n(n+1)x-2n-1 \right)$ αν $\frac{1}{n+1}\leq x\leq \frac{1}{n}$ . Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:
α. Η f είναι παραγωγίσιμη.
β. Η f ' δεν είναι συνεχής.
γ. Το σύνολο τιμών της f' στο [0, δ] είναι το $[0,+\propto )$ για τυχόν δ>0.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά

#3

Noμιζω οτι κατι δεν παει καλά!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

R BORIS έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 03, 2021 6:45 pm
Noμιζω οτι κατι δεν παει καλά!

Ροδόλφε μπορείς να το κάνεις συγκεκριμένο ;

Την είχα λύσει, πριν κάνω επαναφορά.
Την κοίταξα και τώρα (επιφανειακά)και δεν βλέπω κανένα πρόβλημα.
Το να γράψω την λύση είναι ........
Στο χαρτί θέλει καμία ώρα οπότε...
Επίσης δεν βλέπω να έχει κάποιο ενδιαφέρον σημείο η λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 01, 2009 6:57 pm
Καλησπέρα στο φόρουμ

Ασκηση
Θέτουμε $p(x)=\left(x^{2}-1 \right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1$ και $f:[0, 1]\rightarrow R$ με f(0)=0, $f(x)=\frac{1}{n^{3/2}}p\left(2n(n+1)x-2n-1 \right)$ αν $\frac{1}{n+1}\leq x\leq \frac{1}{n}$ . Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:
α. Η f είναι παραγωγίσιμη.
β. Η f ' δεν είναι συνεχής.
γ. Το σύνολο τιμών της f' στο [0, δ] είναι το $[0,+\propto )$ για τυχόν δ>0.

Εχει δίκιο ο Ροδόλφος.
Το γ δεν είναι έτσι
Είναι

Το σύνολο τιμών της

στο $[0,\delta ]$ είναι το $\mathbb{R}$ για τυχόν $\delta >0$

#6

και επιπλεον θελει και τα 2 "ισον" στην $\displaystyle{1/n+1\le x \le1/n}$ ?
περα απο τα λαθη με ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΣΕ ο τύπος της f που την βρηκες Σταυρο?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

R BORIS έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 11:26 am
και επιπλεον θελει και τα 2 "ισον" στην $\displaystyle{1/n+1\le x \le1/n}$ ?
περα απο τα λαθη με ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΣΕ ο τύπος της f που την βρηκες Σταυρο?

Επειδή με βάση τον τύπο είναι $\displaystyle f(\frac{1}{n})=f(\frac{1}{n+1})=0$
δεν υπάρχει πρόβλημα.
Βέβαια για να είναι απόλυτα σωστός θα έπρεπε να την ορίσει για

$\displaystyle \frac{1}{n+1}< x\leq \frac{1}{n}$

Να περιγράψω την λύση παραλείποντας τις επίμονες πράξεις.
1)Για $\displaystyle \frac{1}{n+1}< x\leq \frac{1}{n}$ είναι $\displaystyle |f(x)|\leq \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$
που δίνει την συνέχεια στο

.
2)Παραγωγίζοντας βλέπουμε ότι
$\displaystyle f'(\frac{1}{n})=f'(\frac{1}{n+1})=0$
που δίνει την παραγωγισημότητα στο (0,1]

3)Για $\displaystyle \frac{1}{n+1}< x\leq \frac{1}{n}$ είναι $\displaystyle |\frac{f(x)}{x}|\leq \frac{n+1}{n^{\frac{3}{2}}}$
που δίνει ότι f'(0)=0

4)Για τα δύο τελευταία αρκεί να δούμε ότι
$\displaystyle f'(\frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}}{3})=-c\frac{n(n+1)}{n^{\frac{3}{2}}}$
και
$\displaystyle f'(\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n+1}}{3})=d\frac{n(n+1)}{n^{\frac{3}{2}}}$
όπου c,d

απόλυτες θετικές σταθερές.(βγαίνουν συγκεκριμένα νούμερα)

#8

Σταυρο δεν καταλαβαίνω
Τα σημεια που πρεπει να εξετασουμε δεν είναι τα 0,1,1/2,1/3,...1/η?
Σε καθε διαστημα (1/η+1,1/η] αλλάζει ο τυπος της f χρειαζεσαι πλευρικά όρια
πραγματι δεν ειναι δύσκολη αλλά δεν βλεπω που εφαρμόζονται οι υποδείξεις σου 2,3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

R BORIS έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:18 pm
Σταυρο δεν καταλαβαίνω
Τα σημεια που πρεπει να εξετασουμε δεν είναι τα 0,1,1/2,1/3,...1/η?
Σε καθε διαστημα (1/η+1,1/η] αλλάζει ο τυπος της f χρειαζεσαι πλευρικά όρια
πραγματι δεν ειναι δύσκολη αλλά δεν βλεπω που εφαρμόζονται οι υποδείξεις σου 2,3

Ακριβώς.
Αν την πάρουμε στο $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n})$
τότε βλέπουμε ότι τα πλευρικά όρια στα άκρα της συνάρτησης και της παραγώγου
είναι

.
Το 3 χρειάζεται για να αποδείξουμε ότι η

έχει παράγωγο στο

.

Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Μέλη σε σύνδεση