Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 467
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Πέμ Οκτ 01, 2009 6:57 pm

Καλησπέρα στο φόρουμ

Ασκηση
Θέτουμε p(x)=\left(x^{2}-1 \right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1 και f:[0, 1]\rightarrow R με f(0)=0, f(x)=\frac{1}{n^{3/2}}p\left(2n(n+1)x-2n-1 \right) αν \frac{1}{n+1}\leq x\leq \frac{1}{n}. Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:
α. Η f είναι παραγωγίσιμη.
β. Η f ' δεν είναι συνεχής.
γ. Το σύνολο τιμών της f' στο [0, δ] είναι το [0,+\propto ) για τυχόν δ>0.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 01, 2016 1:34 am

Επαναφορά


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2304
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Δεκ 03, 2021 6:45 pm

Noμιζω οτι κατι δεν παει καλά!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 03, 2021 8:31 pm

R BORIS έγραψε:
Παρ Δεκ 03, 2021 6:45 pm
Noμιζω οτι κατι δεν παει καλά!
Ροδόλφε μπορείς να το κάνεις συγκεκριμένο ;

Την είχα λύσει, πριν κάνω επαναφορά.
Την κοίταξα και τώρα (επιφανειακά)και δεν βλέπω κανένα πρόβλημα.
Το να γράψω την λύση είναι ........
Στο χαρτί θέλει καμία ώρα οπότε...
Επίσης δεν βλέπω να έχει κάποιο ενδιαφέρον σημείο η λύση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 04, 2021 9:53 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:
Πέμ Οκτ 01, 2009 6:57 pm
Καλησπέρα στο φόρουμ

Ασκηση
Θέτουμε p(x)=\left(x^{2}-1 \right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1 και f:[0, 1]\rightarrow R με f(0)=0, f(x)=\frac{1}{n^{3/2}}p\left(2n(n+1)x-2n-1 \right) αν \frac{1}{n+1}\leq x\leq \frac{1}{n}. Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:
α. Η f είναι παραγωγίσιμη.
β. Η f ' δεν είναι συνεχής.
γ. Το σύνολο τιμών της f' στο [0, δ] είναι το [0,+\propto ) για τυχόν δ>0.
Εχει δίκιο ο Ροδόλφος.
Το γ δεν είναι έτσι
Είναι

Το σύνολο τιμών της f' στο[0,\delta ] είναι το \mathbb{R} για τυχόν \delta >0


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2304
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Δεκ 04, 2021 11:26 am

και επιπλεον θελει και τα 2 "ισον" στην \displaystyle{1/n+1\le x \le1/n}?
περα απο τα λαθη με ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΣΕ ο τύπος της f που την βρηκες Σταυρο?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 04, 2021 11:58 am

R BORIS έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 11:26 am
και επιπλεον θελει και τα 2 "ισον" στην \displaystyle{1/n+1\le x \le1/n}?
περα απο τα λαθη με ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΣΕ ο τύπος της f που την βρηκες Σταυρο?
Επειδή με βάση τον τύπο είναι \displaystyle f(\frac{1}{n})=f(\frac{1}{n+1})=0
δεν υπάρχει πρόβλημα.
Βέβαια για να είναι απόλυτα σωστός θα έπρεπε να την ορίσει για

\displaystyle \frac{1}{n+1}< x\leq \frac{1}{n}

Να περιγράψω την λύση παραλείποντας τις επίμονες πράξεις.
1)Για \displaystyle \frac{1}{n+1}< x\leq \frac{1}{n} είναι \displaystyle |f(x)|\leq \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
που δίνει την συνέχεια στο 0.
2)Παραγωγίζοντας βλέπουμε ότι
\displaystyle f'(\frac{1}{n})=f'(\frac{1}{n+1})=0
που δίνει την παραγωγισημότητα στο (0,1]
3)Για \displaystyle \frac{1}{n+1}< x\leq \frac{1}{n} είναι \displaystyle |\frac{f(x)}{x}|\leq \frac{n+1}{n^{\frac{3}{2}}}
που δίνει ότι f'(0)=0
4)Για τα δύο τελευταία αρκεί να δούμε ότι
\displaystyle f'(\frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}}{3})=-c\frac{n(n+1)}{n^{\frac{3}{2}}}
και
\displaystyle f'(\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n+1}}{3})=d\frac{n(n+1)}{n^{\frac{3}{2}}}
όπου c,d απόλυτες θετικές σταθερές.(βγαίνουν συγκεκριμένα νούμερα)


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2304
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Δεκ 04, 2021 8:18 pm

Σταυρο δεν καταλαβαίνω
Τα σημεια που πρεπει να εξετασουμε δεν είναι τα 0,1,1/2,1/3,...1/η?
Σε καθε διαστημα (1/η+1,1/η] αλλάζει ο τυπος της f χρειαζεσαι πλευρικά όρια
πραγματι δεν ειναι δύσκολη αλλά δεν βλεπω που εφαρμόζονται οι υποδείξεις σου 2,3


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια παραγωγίσιμη με μη συνεχή παράγωγο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 05, 2021 11:17 am

R BORIS έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 8:18 pm
Σταυρο δεν καταλαβαίνω
Τα σημεια που πρεπει να εξετασουμε δεν είναι τα 0,1,1/2,1/3,...1/η?
Σε καθε διαστημα (1/η+1,1/η] αλλάζει ο τυπος της f χρειαζεσαι πλευρικά όρια
πραγματι δεν ειναι δύσκολη αλλά δεν βλεπω που εφαρμόζονται οι υποδείξεις σου 2,3
Ακριβώς.
Αν την πάρουμε στο (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n})
τότε βλέπουμε ότι τα πλευρικά όρια στα άκρα της συνάρτησης και της παραγώγου
είναι 0.
Το 3 χρειάζεται για να αποδείξουμε ότι η f έχει παράγωγο στο 0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης