Γενικευμένο Ολοκλήρωμα με Ιστορία

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ttheodoros
Δημοσιεύσεις: 69
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 21, 2010 4:28 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία - Κύπρος

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα με Ιστορία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ttheodoros » Κυρ Οκτ 28, 2012 3:50 pm

Θέτω και πάλι το εξής θέμα το οποίο ήταν και το πρώτο μου πρόβλημα που έθεσα ως μέλος του mathematica προ ενάμιση χρόνο περίπου.

Αν \displaystyle{ f:(0,1]\rightarrow \mathbb R } μονότονη και για p \epsilon \mathbb R το γενικευμένο ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{1} x^p f(x)dx} υπάρχει να δειχτεί ότι \displaystyle{ \lim_{x \to 0+} x^{p+1} f(x)=0}.

Το πρόβλημα αυτο:
1) Βρίσκεται στο βιβλίο των Polya G., Szego G. Problems and theorems in analysis I
2) Βρίσκεται στο βιβλίο των Kaczor W.J., Nowak N.T. Problems in mathematical analysis 3. Integration
3)Στην ειδική περίπτωση p=0 τέθηκε στον διαγωνισμό Vojtech Jarnik το 2001 και πιο παλιά στα Qualifying Exams του Berkeley to 1983 με την υπόθεση ότι f:(0,1]\rightarrow \mathbb R^{+}.

Πιο κάτω παραθέτω μια πολύ κομψή λύση η οποία οφείλεται στον Γ.Σ. Σμυρλή και ευελπιστώ σε νέες λύσεις σε αυτό το αρκετά ενδιαφέρον πρόβλημα ή και παρατηρήσεις

Αφού \displaystyle{\int_{0}^{1} x^p f(x)dx} υπάρχει \displaystyle{\Rightarrow  \lim_{x \to 0+} \int_{0}^{x} t^p f(t)dt = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0+} \int_{\frac{x}{2}}^{x} t^p f(t)dt = 0}.
Υποθέτουμε ότι f \geq 0 στο διάστημα [\frac{x}{2},x]
Τότε
\displaystyle{\int_{\frac{x}{2}}^{x} t^p f(t)dt  \geq \frac{x}{2} \cdot \min\{f(x), f(\frac{x}{2})\} \cdot \min \{x^p, (\frac{x}{2})^p\} =}

= \left\{ 
\begin{array}{rl} 
\displaystyle{\frac{x^{(p+1)}}{2} f(x)} ,\\ \\ 
\displaystyle{\frac{x^{(p+1)}}{2} f(\frac{x}{2})},\\ \\ 
\displaystyle{\left( \frac{x}{2} \right)^{(p+1)} f(x)} ,\\ \\ 
\displaystyle{\left( \frac{x}{2} \right)^{(p+1)}  f(\frac{x}{2})}. 
\end{array} \right.

Παίρνοντας το όριο \displaystyle{\lim_{x \to 0+}} προκύπτει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 8 επισκέπτες