Σελίδα 1 από 1

Βραδυνό ολoκλήρωμα 20

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 27, 2009 7:23 pm
από mathxl
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle \ I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin x} \right)\ln \left( {\cos x} \right)dx}

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 20

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 07, 2009 2:42 am
από Σεραφείμ
Πανέμορφο .. και πολύ δύσκολο

μου προέκυψαν επίσης πολύ καλές επεκτάσεις .. κάποιες θα δώσω σε επόμενες αναρτήσεις

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 20

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 07, 2009 10:15 pm
από Mihalis_Lambrou
mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle \ I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin x} \right)\ln \left( {\cos x} \right)dx}
Η ευχέρεια του Σεραφείμ με τα ολοκληρώματα, και όχι μόνο, είναι απίστευτη.

Δίνω τα κύρια βήματα άλλης λύσης. Οι πράξεις είναι πολλές, αλλά ρουτίνα.

Χρησιμοποιούμε τον γνωστό από τις σειρές Fourier τύπο

\displaystyle \ln (2sinx) = - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(nx)}{n}, \  0 < x < \pi

οπότε, θέτοντας π/2 - x στη θέση του x είναι

\displaystyle \ln (2cosx) = - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(n(\frac{\pi}{2}-x))}{n}

Πολλαπλασιάζουμε τώρα τις σειρές ως γινόμενο Cauchy και ολοκληρώνουμε όρο προς όρο.

Ομολογώ ότι δεν έκανα τις πράξεις μέχρι τέλους, αλλά οι όροι που βρήκε ο Σεραφείμ είναι ορατοί. Π.χ. το γινόμενο του \ln (2sinx) = \ln2 + ln(sinx) με το \ln (2cosx) = \ln2 + ln(cosx) εμφανίζει το (\ln2)^2.

Φιλικά,

Μιχάλης.