Βραδυνό ολoκλήρωμα 22

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Βραδυνό ολoκλήρωμα 22

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Νοέμ 07, 2009 10:13 pm

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\left[ {\frac{1}{x}\left( {\frac{1}{{{e^x} - 1}} - \frac{1}{x} + \frac{{{e^{ - x}}}}{2}} \right)} \right]dx}


Απάντηση


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 22

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Νοέμ 28, 2009 9:33 pm

\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{1}{x}\left( \frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x} + \frac{e^{-x}}{2} \right) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{3x - 2e^x + 2 - xe^x}{2x^2(e^x-1)} = \sum_{k=1}^{\infty} \int_0^{\infty}e^{-kx} \frac{3x - 2e^x + 2 - xe^x}{2x^2} \; dx=}

\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-kx} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)!} \left( \frac{(-1)^n}{2} - \frac{1}{n+2} \right) \;dx = \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^n}{2} - \frac{1}{n+2} \right) \int_0^{\infty} \frac{x^ne^{-kx}}{(n+1)!} \;dx = }

\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^n}{2} - \frac{1}{n+2} \right) \frac{1}{(n+1)k^{n+1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^n}{2} - \frac{1}{n+2} \right) \int_k^{\infty} \frac{1}{x^{n+2}} \; dx }

Αλλά

\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \int_k^{\infty} \frac{1}{x^{n+2}} \; dx = \int_k^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{x}\right)^{n+2} \; dx = - \int_{k}^{\infty} \frac{1}{x^3+x^2} \;dx = \cdots = \ln{(k+1)} - \ln{k} - \frac{1}{k}}

και

\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \int_k^{\infty} \frac{1}{(n+2)x^{n+2}} \; dx = \int_k^{\infty} \left(\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{4x^4} + \cdots \right) \;dx = \int_k^{\infty} \int_0^{1/x} (y^2 + y^3 + \cdots) \;dy \;dx = }

\displaystyle{  
\int_k^{\infty} \int_0^{1/x} \frac{y^2}{1-y} \;dy \;dx = - \int_k^{\infty} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + \ln{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} \right) \;dx = \cdots = -\frac{1}{2k} + 1 + (k-1) \ln{(1-1/k)} 
}

Άρα

\displaystyle{ 
\int_0^{\infty} \frac{1}{x}\left( \frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x} + \frac{e^{-x}}{2} \right) \; dx = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{\ln{(k+1)}}{2} - \frac{\ln{k}}{2} - 1 - (k-1)\ln{(k-1)} + (k-1)\ln{k}\right) = 
}

\displaystyle{ 
\lim_{N \to \infty} \left(\frac{\ln{(N+1)}}{2} - N - \ln{N!} + N\ln{N} \right) = \lim_{N \to \infty} \ln{\left(\frac{\sqrt{N}N^N}{e^N N!} \right)} = -\frac{1}{2}\ln{(2\pi)} 
}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης