Ολοκληρώματα........

Ωmega Man · #1

Αν και έχουν ξανασυζητηθεί ας δούμε συγκεντρωτικά μερικά οκληρώματα.
Έστω C:|z|=1

. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα
α) $\displaystyle \oint_{C} \frac{\textrm{d}z}{z}$
β) $\displaystyle \oint_{C} \frac{\textrm{d}z}{|z|}$
γ) $\displaystyle \oint_{C} \frac{|\textrm{d}z|}{z}$
Και για δεύτερο μέρος ως συνέχειας του (γ) να διεχθεί ότι
$\displaystyle \left| \oint_{C}\frac{\textrm{d}z}{4+3z}\right| \leq 2\pi$ .

#2

Αν θυμάμαι καλά πάει κάπως έτσι (για το (γ) έχω μια μικρή αμφιβολία):

Έστω $z = cost + isint, t\epsilon [0,2\pi ]$ ,

οπότε |z|=1

και

.

α) $\displaystyle \oint_{C} \frac{\textrm{d}z}{z}= \int_{0}^{2\pi }{\frac{-sint+icost}{(cost+isint)}dt}=\int_{0}^{2\pi }{idt}=2\pi i$ .

β) $\displaystyle \oint_{C} \frac{\textrm{d}z}{|z|} = \int_{0}^{2\pi }{(-sint+icost)dt}=0$

γ) $\displaystyle \oint_{C} \frac{|\textrm{d}z|}{z}=\int_{0}^{2\pi }{\frac{|dt|}{(cost+isint)}}= \int_{0}^{2\pi }{(cost-isint)|dt|}=0$

Για το δεύτερο μέρος του (γ):

$\displaystyle \left| \oint_{C}\frac{\textrm{d}z}{4+3z}\right| = \left| \int_{0}^{2\pi }{\frac{-sint+icost}{4+3cost+3isint}dt}\right|\leq$

$\displaystyle \leq \int_{0}^{2\pi } {\frac{1}{25+24cost} dt}\leq \int_{0}^{2\pi }{dt}= 2\pi$

Ωmega Man · #3

Πολύ σωστά.

Ολοκληρώματα........

Ολοκληρώματα........

Re: Ολοκληρώματα........

Re: Ολοκληρώματα........

Μέλη σε σύνδεση