Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6803
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Νοέμ 20, 2009 12:34 am

Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {1 + 2\sqrt {1 + 3\sqrt {1 + ...\sqrt {1 + \left( {n - 1} \right)\sqrt {1 + n} } } } }  
}


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3902
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Νοέμ 20, 2009 1:07 am

Το παρακάτω όριο είναι ειδικότερο της παρακάτω άσκησης (που οφείλεται στον Ramanujan):

Να βρεθεί απλούστερος τύπος για τη συνάρτηση

f(x)=\sqrt {1 + x\sqrt {1 + (x+1)\sqrt {1 + (x+2)\sqrt{ ...} }}} με x\in[1,+\infty).

Η απάντηση είναι f(x)=x+1, οπότε για την ειδική περίπτωση του Χρήστου η απάντηση είναι 3.

Αν δεν υπάρξει απάντηση (νομίζω ότι είναι πολύ ενδιαφέρον αποτέλεσμα για κάποιο που δε το γνωρίζει) θα βάλω αύριο (ή αργότερα) μία.

Αλέξανδρος

Προσθέτω μία υπόδειξη:

Η παραπάνω συνάρτηση ικανοποιεί τη σχέση f(x)=\sqrt{1+xf(x+1)}, \ \  x\in[1,\infty) και την

\displaystyle\frac{x+1}{2}\leq f(x)\leq 2(x+1) \ \  x\in[1,\infty)

Να δείξετε τώρα ότι η συνάρτηση που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες με x\geq 1 είναι η f(x)=x+1.
τελευταία επεξεργασία από cretanman σε Παρ Νοέμ 20, 2009 1:14 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λόγος: Πρόσθεσα υπόδειξη για την άσκηση


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Νοέμ 20, 2009 1:25 am

Φυσικά θα πρέπει να δείξει κανείς ότι ο παραπάνω τύπος ορίζει συνάρτηση για κάθε x\in[1,+\infty), δηλαδή ότι για κάθε x\in[1,+\infty) έχω σύγκλιση της ακολουθίας των ριζικών κάτι σχετικό υπάρχει εδώ

Επίσης American Mathematical Monthly - Vol. 42 No. 7 Aug.-Sept. 1935 pp. 419


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3902
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Νοέμ 20, 2009 2:09 am

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Φυσικά θα πρέπει να δείξει κανείς ότι ο παραπάνω τύπος ορίζει συνάρτηση για κάθε x\in[1,+\infty), δηλαδή ότι για κάθε x\in[1,+\infty) έχω σύγκλιση της ακολουθίας των ριζικών κάτι σχετικό υπάρχει εδώ

Επίσης American Mathematical Monthly - Vol. 42 No. 7 Aug.-Sept. 1935 pp. 419
Αναστάση έχεις απόλυτο δίκιο!! Μάλιστα η σύγκλιση αυτής της ακολουθίας είναι αρκετά επίπονη (αλλά επιβεβλημένη) διαδικασία! Ευχαριστώ πολύ!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Νοέμ 21, 2009 8:22 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Φυσικά θα πρέπει να δείξει κανείς ότι ο παραπάνω τύπος ορίζει συνάρτηση για κάθε x\in[1,+\infty), δηλαδή ότι για κάθε x\in[1,+\infty) έχω σύγκλιση της ακολουθίας των ριζικών κάτι σχετικό υπάρχει εδώ

Επίσης American Mathematical Monthly - Vol. 42 No. 7 Aug.-Sept. 1935 pp. 419
Και εδώ


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 23, 2009 4:39 pm

chris_gatos έγραψε:Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {1 + 2\sqrt {1 + 3\sqrt {1 + ...\sqrt {1 + \left( {n - 1} \right)\sqrt {1 + n} } } } }  
}

Όπως υποσχέθηκα σε άλλο ποστ, επισυνάπτω δύο διαφορετικές λύσεις σε άσκηση στο CRUX πριν από 12 χρόνια.

Η αρχική άσκηση είναι η εύρεση του ορίου

\displaystyle{ 
\mathop { \sqrt {4 + 27\sqrt {4 + 29\sqrt {4 + 31\sqrt {4 + ... } } } }  
}

Δίνω γενικότερα το όριο


\displaystyle{ 
\mathop { \sqrt {4 + (2n+1)\sqrt {4 + (2n+3)\sqrt {4 + (2n+5)\sqrt {4 + ... } } } }  
}

Αλλά όπως γράφω στο τέλος, η ίδια ακριβώς τεχνική δίνει


\displaystyle{ 
\mathop {\sqrt {A^2 + (Ax+1)\sqrt {A^2 + (Ax + A +1)\sqrt {A^2 + (Ax + 2A+1)\sqrt {A^2 + ... } } } } = Ax + A + 1 
}

που για Α = 1, x =1 είναι η περίπτωση της άσκησης του Χρήστου.

Επίσης η ίδια τεχνική δίνει και ισότητες όπως π.χ.

\displaystyle{ 
\mathop { \sqrt [3] {3 + 2\cdot3\sqrt [3]{4 + 3\cdot4\sqrt [3]{5 + 4\cdot5\sqrt[3] {6 + ... } } } }  
} = 3.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου
Συνημμένα
nested radicals.pdf
(1.81 MiB) Μεταφορτώθηκε 152 φορές


kalafatis_kon
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 19, 2009 8:49 pm

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kalafatis_kon » Δευ Νοέμ 23, 2009 10:38 pm

ΜΙΧΑΛΗ ΝΑ ΣΕ ΚΑΛΑ ΝΑ ΜΑΣ ΤΡΟΦΟΔΟΤΕΙΣ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΓΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2520
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Σάβ Ιαν 02, 2010 10:52 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {1 + 2\sqrt {1 + 3\sqrt {1 + ...\sqrt {1 + \left( {n - 1} \right)\sqrt {1 + n} } } } }  
}

Όπως υποσχέθηκα σε άλλο ποστ, επισυνάπτω δύο διαφορετικές λύσεις σε άσκηση στο CRUX πριν από 12 χρόνια.

Η αρχική άσκηση είναι η εύρεση του ορίου

\displaystyle{ 
\mathop { \sqrt {4 + 27\sqrt {4 + 29\sqrt {4 + 31\sqrt {4 + ... } } } }  
}

Δίνω γενικότερα το όριο


\displaystyle{ 
\mathop { \sqrt {4 + (2n+1)\sqrt {4 + (2n+3)\sqrt {4 + (2n+5)\sqrt {4 + ... } } } }  
}

Αλλά όπως γράφω στο τέλος, η ίδια ακριβώς τεχνική δίνει


\displaystyle{ 
\mathop {\sqrt {A^2 + (Ax+1)\sqrt {A^2 + (Ax + A +1)\sqrt {A^2 + (Ax + 2A+1)\sqrt {A^2 + ... } } } } = Ax + A + 1 
}

που για Α = 1, x =1 είναι η περίπτωση της άσκησης του Χρήστου.

Επίσης η ίδια τεχνική δίνει και ισότητες όπως π.χ.

\displaystyle{ 
\mathop { \sqrt [3] {3 + 2\cdot3\sqrt [3]{4 + 3\cdot4\sqrt [3]{5 + 4\cdot5\sqrt[3] {6 + ... } } } }  
} = 3.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες