Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Νοέμ 20, 2009 4:25 pm

Καλησπερα σας, εψαχνα προχτες να βρω μια αποδειξη στο οτι το αθροισμα των αντιστροφων των τετραγωνων των φυσικων αριθμων ειναι π^2/6 και βρηκα το παρακατω:

http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

Στο παραπανω λινκ δινεται μια "αποδειξη" του προβληματος, και βαζω τα "" διοτι υπαρχουν δυο μελανα σημεια. Θελω να κανω λοιπον δυο ερωτησεις:

1) Ισχυει οτι ενα απειροαθροισμα μονονυμων παραγοντοποιειται σε παραγοντες της μορφης (χ - ρ_κ), οπου ρ_κ, κ=1,2,... ειναι οι ριζες του? Ισχυει οτι οι τυποι vieta επεκτεινονται σε πολυωνυμικα απειροαθροισματα? Αν πραγματι ισχυουν ολα αυτα, τοτε μπορουμε να τα αποδειξουμε καπως? η μηπως μπορουμε να πουμε οτι ολα αυτα ειναι προφανη λογο του οτι καθε τετοιο απειροαθροισμα ειναι οριο ακολουθιας πολυωνυμων?

2) Υποθετουμε οτι ισχυουν τα παραπανω, τοτε ομως υπαρχει ακομα ενα προβλημα: Στην "αποδειξη" που δινεται στο παραπανω λινκ για το συγκεκριμενο προβλημα, το πολυωνυμικο απειροαθροισμα που προσεγγιζει την ημχ/χ αντιμετωπιζεται ως πολυωνυμο, στους τυπους του vieta ομως αγνοειται η πιθανη υπαρξη μιγαδικων ριζων του πολυωνυμικου απειροαθροισματος. Απο τη στιγμη ομως που η προσεγγιση αυτη δινει σωστο αποτελεσμα, ολες οι ριζες του πολυωνυμικου αυτου απειροαθροισματος ειναι μαλον πραγματικες, μπορουμε να το αποδειξουμε αυτο καπως?

Εδω και καποιες μερες ασχολουμε με ενα αλλο παρομοιο προβλημα το οποιο θεωρειται προβλημα επιπεδου seemous (προβλημα 6 εδω: http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=37&t=6590), αρα σιγουρα θα πρεπει να λυνεται με γνωσεις απλης αναλυσης, μεχρι τωρα ομως εχω καταφερει να κανω μονο μια προσεγγιση η οποια "κολλαει" στα δυο παραπανω σημεια οπως ακριβως και η αποδειξη που υπαρχει στο λινκ απο τη wikipedia πιο πανω, ενω απο τη "μορφη" της προσεγγισης που εχω κανει αμφιβαλω οτι υπαρχει αλλη λυση με απλες γνωσεις αναλυσης.

Θα ηθελα λοιπον τη βοηθεια σας.

Ευχαριστω, Νικος.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Νοέμ 20, 2009 5:59 pm

Ερώτηση: στο forum του μαθηματικού Αθηνών δεν μπορεί να γραφτεί ο οποιοσδήποτε; Προσπσθώ να γραφτώ και όταν πάω να κάνω submit μου λέει "Το email που δώσατε δεν έχει μία έγκυρη MX εγγραφή".
Μήπως υπάρχουν καταχωρημένα μόνο τα email των φοιτητών και δίνεται η δυνατότητα πρόσβασης μόνο σε αυτούς;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 20, 2009 7:19 pm

Nick1990 έγραψε: Καλησπερα σας, εψαχνα προχτες να βρω μια αποδειξη στο οτι το αθροισμα των αντιστροφων των τετραγωνων των φυσικων αριθμων ειναι π^2/6 και
Νίκο,

H διατριβή της Στέλλας Κουτράκη για το Μάστερ στο Μαθηματικό Κρήτης, έχει καμιά ντουζίνα αποδείξεις. Δες εκεί αλλά και εδώ στο φόρουμ έχει συζητηθεί πολύ το θέμα.
Αν ψάξεις, θα βρεις τις συζητήσεις. (Συγνώμη που δεν το κάνω ο ίδιος, αλλά έχω κάπως αργή σύνδεση στο ιντερνετ, και το ψάξιμο με ... σκοτώνει!)
Nick1990 έγραψε:
Στο παραπανω λινκ δινεται μια "αποδειξη" του προβληματος, και βαζω τα "" διοτι υπαρχουν δυο μελανα σημεια.
Είναι πολύ γνωστό ότι αυτή η απόδειξη του Euler δεν είναι αυστηρή. Το λέει άλλωστε ρητά το λινκ που παραπέμπεις. Και εκεί μιλά για "απόδειξη".
Nick1990 έγραψε:
1) Ισχυει οτι ενα απειροαθροισμα μονονυμων παραγοντοποιειται σε παραγοντες της μορφης (χ - ρ_κ), οπου ρ_κ, κ=1,2,... ειναι οι ριζες του?


Όχι βέβαια. Έχουμε πρώτα από όλα πρόβλημα σύγκλισης. Σκέψου την e^x.
Οι ρίζες του είναι r_k = ik\pi και το γινόμενο των x - r_k = ik\pi
αποκλίνει.
Nick1990 έγραψε:
Ισχυει οτι οι τυποι vieta επεκτεινονται σε πολυωνυμικα απειροαθροισματα?
Όχι βέβαια. Και πάλι έχουμε πρόβλημα σύγκλισης. Αλλά και ποιός είναι ο αντίστοιχος τύπος του Vieta στην περίπτωση του "το άθροισμα των ριζών του a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n ισούται -\frac{a_{n-1}}{a_{n}} ; Αν έχουμε το a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... ποιός είναι ο τελευταίος όρος για να γράψουμε -\frac {a_{n-1}}{a_{n}}. Δεν έχει νόημα ακόμα και αν ξέρουμε ότι όλοι οι συντελεστές a_n είναι μη μηδενικοί.
Nick1990 έγραψε: το <...> ημχ/χ αντιμετωπιζεται ως <...> ολες οι ριζες του πολυωνυμικου αυτου απειροαθροισματος ειναι μαλον πραγματικες, μπορουμε να το αποδειξουμε αυτο καπως?
Βεβαίως. Γράφοντας sinx = \frac{e^{ix}- e^{-ix}}{2i} μπορούμε να βρούμε όλες τις ρίζες του ημχ από τις ρίζες του e^x. Είναι αυτές που περιγράφονται στΟν συλλογισμό του Euler.
Nick1990 έγραψε: Εδω και καποιες μερες ασχολουμε με ενα αλλο παρομοιο προβλημα το οποιο θεωρειται προβλημα επιπεδου seemous (προβλημα 6 εδω: http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=37&t=6590), αρα σιγουρα θα πρεπει να λυνεται με γνωσεις απλης αναλυσης,
Αν μας πεις το πρόβλημα, θα δοκιμάσουμε. Στο ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΟ φόρουμ που παραπέμπεις
(δεν γνώριζα αυτόν τον απίθανο ιστότοπο πριν τον αναφέρεις) έχει πολλά πανέμορφα προβλήματα. Έριξα μια κάπως προσεκτική ματιά και σε διαβεβαιώνω ότι εδώ στο mathematica καμία από αυτές τις ομολογουμένως δύσκολες ασκήσεις δεν θα ξεφύγει ως άλυτη από τα μέλη μας. Προσοχή όμως, δεν θέλουμε να κάνουμε "ζημιά" στο φόρουμ του Μαθηματικού Αθηνών. Οι ασκήσεις που βάζουν τα μέλη του εκεί, είναι για να συζητιούνται εκεί: Σημασία δεν έχει μόνο η λύση ενός προβλήματος, αλλά και ο διάλογος που επιφέρει.

Αυτά,

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Νοέμ 20, 2009 11:08 pm

Πριν γραψω οτιδηποτε αλλο, θα ηθελα να ρωτησω αν οι εκθετικες-τριγωνομετρικες συναρτησεις αναλυονται σε σειρες οχι μονο στους πραγματικους αλλα και στους μιγαδικους (Δεν γνωριζω και πολλα απο μιγαδικη αναλυση...). Γιατι αν δεν ισχυει αυτο τοτε για x μιγαδικο το sinx και το συγκεκριμενο απειροαθροισμα ειναι διαφορετικα πραγματα, οποτε το οτι η sinx δεν δεχεται μιγαδικες ριζες δεν σημαινει οτι και το συγκεκριμενο πολυωνυμικο απειροαθροισμα δεν δεχεται μιγαδικες ριζες... Επισεις οι αριθμοι ikπ ειναι ριζες της εκθετικης αλλα για να ειναι ριζες του αναπτυγματος της εκθετικης σε taylor (ωστε να παρουσιαζεται το προβλημα συγκλισης που αναφερατε) θα πρεπει η εκθετικη να αναλυεται στη σειρα taylor της ΚΑΙ στους μιγαδικους, πραγμα που οπως ειπα δεν γνωριζω αν συμβαινει και θα ηθελα καποιος να με διαφωτισει επι του θεματος.

Το προβλημα λεει το εξης:
Αν a_1, a_2, ... ειναι οι θετικες ριζες της εξισωσης tanx = x, νδο:
\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{1}{{a_k}^2}} = \frac{1}{10}

Η Διαισθητικα σωστη προσεγγιση μου ειναι η εξης:
Αναλυοντας τις συναρτησεις cosx, sinx σε σειρες taylor. Βλεπουμε οτι η εξισωση ειναι ισοδυναμη με:

\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{k+1}x^{2(k-1)}}{(2k)! - (2k+1)!}} = 0

Αρα τα τετραγωνα των θετικων ριζων της tanx=x θα ειναι οι πραγματικες ριζες της εξισωσης:

s(x) = \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{k+1}x^{k-1}}{(2k)! - (2k+1)!}} = 0

Αν θεωρησω την ακολουθια πολυωνυμων:
P_n(x) = \sum_{k=1}^{n}{\frac{(-1)^{k+1}x^{k-1}}{(2k)! - (2k+1)!}}
τοτε το αθροισμα των αντιστροφων των ριζων καθε τετοιου πολυωνυμου ειναι:
\frac{\frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}}{\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}} = \frac{1}{10}

Αυτο που εκανα μετα ειναι να παρω το n στο απειρο ωστε να προκειψει το ζητουμενο αποτελεσμα, λεγοντας οτι οταν το n παει στο απειρο, το συνολο των ριζων του n-ωστου πολυωνυμου συγκλινει στο συνολο των ριζων του οριου της ακολουθιας των πολυωνυμων αυτων που ειναι το απειροαθροισμα s(x) (αυτο δεν ειμαι σιγουρος αν ισχυει, και δεν προσπαθησα να το αποδειξω διοτι δεν γνωριζω πολλα πραγματα για συγκλιση συνολων, αλλα μου φαινεται προφανες απο τα γραφηματα των παραπανω συναρτησεων)

Ακομα και αν ειναι σωστο αυτο ομως, δεν βλεπω τροπο να δειξω οτι η συναρτηση - οριο της συγκεκριμενης ακολουθιας πολυωνυμων εχει ριζες ΜΟΝΟ τα τετραγωνα των θετικων ριζων της tanx=x, κατι που θαρρω πως ισχυει διοτι ετσι το αποτελεσμα προκειπτει πολυ ομορφα, ισως να αποδεικνειεται χρησημοποιοντας τις εκθετικες μορφες των τριγωνομετρικων αριθμων (οπως στην περιπτωση της εξισωσης sinx=0 στους μιγαδικους που αναφερθηκε πιο πανω).

Το προβλημα αυτο προοριζεται για φοιτητες που προετοιμαζονται για τον seemous, εγω ομως εχω την εντυπωση οτι μη γνωριζοντας ποιες ακριβως ειναι οι ριζες της tanx=x (λαμβανοντας υπ οψην και την ομορφια με την οποια προκειπτει ετσι το αποτελεσμα) δεν γινεται να προσεγγισουμε με αλλο τροπο το προβλημα χωρις να καταφυγουμε σε πραγματα που ξεφευγουν απο την υλη των απειροστικων 1-2 ...
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Παρ Νοέμ 20, 2009 11:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 20, 2009 11:17 pm

Nick1990 έγραψε: Πριν γραψω οτιδηποτε αλλο, θα ηθελα να ρωτησω αν οι εκθετικες-τριγωνομετρικες συναρτησεις αναλυονται σε σειρες οχι μονο στους πραγματικους αλλα και στους μιγαδικους (Δεν γνωριζω και πολλα απο μιγαδικη αναλυση...).
Ναι, οι δυναμοσειρές των εκθετικών και τριγωνομετρικών μεταφέρονται στους μιγαδικούς. Μάλιστα η σχετική θεωρία είναι φυσιολογικότερη στο \mathbb C. Θα βρεις τα σχετικά σε όλα τα βιβλία Μιγαδικής Ανάλυσης.
Nick1990 έγραψε: Γιατι αν δεν ισχυει αυτο τοτε <...>
Είπαμε, ισχύει. Οπότε τα υπόλοιπα που γράφεις απαντιούνται αυτόματα.

Φιλικά,

Μιχάλης.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 20, 2009 11:34 pm

Νίκο, γράφεις
Nick1990 έγραψε:
Αναλυοντας τις συναρτησεις cosx, sinx σε σειρες taylor. Βλεπουμε οτι η εξισωση ειναι ισοδυναμη με:

\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{k+1}x^{2(k-1)}}{(2k)! - (2k+1)!}} = 0
Δεν βλέπω πώς το έβγαλες. Αμφιβάλλω αν είναι σωστό γιατί είναι γνωστό ότι η σειρά Τaylor του tanx δεν είναι τόσο απλή. Περιέχει "αριθμούς Stirling".
Οπότε όλη η μεθοδολογία που κάνεις για την εξίσωση tanx = x δεν φαίνεται σωστή.

Θα δώσω μία υπόδειξη: Δες εκείνη την απόδειξη που βρίσκει το \Sigma \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} μέσω των αντιστρόφων των ριζών της cotx = 0.
Χρησιμοποιεί πεπερασμένα αθροίσματα, τα φράσει αριστερά και δεξιά, και παίρνει όριο.
Αν θυμάμαι καλά, η απόδειξη αυτή υπάρχει και στη wikipedia.

Παραλλαγή αυτής της απόδειξης δίνει και το ζητούμενο.

Αυτά για τώρα.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Νοέμ 20, 2009 11:55 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Νίκο, γράφεις
Nick1990 έγραψε:
Αναλυοντας τις συναρτησεις cosx, sinx σε σειρες taylor. Βλεπουμε οτι η εξισωση ειναι ισοδυναμη με:

\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{k+1}x^{2(k-1)}}{(2k)! - (2k+1)!}} = 0
Δεν βλέπω πώς το έβγαλες. Αμφιβάλλω αν είναι σωστό γιατί είναι γνωστό ότι η σειρά Τaylor του tanx δεν είναι τόσο απλή. Περιέχει "αριθμούς Stirling".
Οπότε όλη η μεθοδολογία που κάνεις για την εξίσωση tanx = x δεν φαίνεται σωστή.

Θα δώσω μία υπόδειξη: Δες εκείνη την απόδειξη που βρίσκει το \Sigma \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} μέσω των αντιστρόφων των ριζών της cotx = 0.
Χρησιμοποιεί πεπερασμένα αθροίσματα, τα φράσει αριστερά και δεξιά, και παίρνει όριο.
Αν θυμάμαι καλά, η απόδειξη αυτή υπάρχει και στη wikipedia.

Παραλλαγή αυτής της απόδειξης δίνει και το ζητούμενο.

Αυτά για τώρα.
Δεν αναλυω την tanx σε taylor, αλλα τις cosx και sinx... αφου πρωτα γραψω τη εξισωση ισοδυναμα sinx=xcosx.. μετα κανω αναγωγη ομοιων ορων και διαιρω με x^3 για να προκειψει η συγκεκριμενη σειρα.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 21, 2009 12:41 am

Nick1990 έγραψε:
Δεν αναλυω την tanx σε taylor, αλλα τις cosx και sinx... αφου πρωτα γραψω τη εξισωση ισοδυναμα sinx=xcosx.. μετα κανω αναγωγη ομοιων ορων και διαιρω με x^3 για να προκειψει η συγκεκριμενη σειρα.
Νίκο,

τότε πραγματικά δεν καταλαβαίνω: έγραψες δηλαδή (για τους όμοιους όρους)
\frac{x^{2k+1}}{(2k)!} -\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} =\frac{x^{2k+1}}{(2k)!- (2k+1)!} ;

Μήπως δεν βλέπω κάτι;

Πες μου!

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Νοέμ 21, 2009 5:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Nick1990 έγραψε:
Δεν αναλυω την tanx σε taylor, αλλα τις cosx και sinx... αφου πρωτα γραψω τη εξισωση ισοδυναμα sinx=xcosx.. μετα κανω αναγωγη ομοιων ορων και διαιρω με x^3 για να προκειψει η συγκεκριμενη σειρα.
Νίκο,

τότε πραγματικά δεν καταλαβαίνω: έγραψες δηλαδή (για τους όμοιους όρους)
\frac{x^{2k+1}}{(2k)!} -\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} =\frac{x^{2k+1}}{(2k)!- (2k+1)!} ;

Μήπως δεν βλέπω κάτι;

Πες μου!

Φιλικά,

Μιχάλης
Ουπς, εγραψα λαθος τον κωδικα latex, αυτο που ηθελα να γραψω ειναι:

\sum_{k=1}^{+\infty}{(-1)^k(\frac{1}{(2k)!} - \frac{1}{(2k+1)!})x^{2(k-1)}}

Ζητω συγνωμη για την ταλαιπωρια


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 21, 2009 5:45 pm

Nick1990 έγραψε:
Ουπς, εγραψα λαθος τον κωδικα latex, αυτο που ηθελα να γραψω ειναι:

\sum_{k=1}^{+\infty}{(-1)^k(\frac{1}{(2k)!} - \frac{1}{(2k+1)!})x^{2(k-1)}}

Ζητω συγνωμη για την ταλαιπωρια
Νίκο,

Εγώ ζητώ συγνώμη γιατί το κατάλαβα μετά. Είναι σαφές ότι επρόκειτο για τυπογραφικό λάθος γιατί λίγες γραμμές πιο κάτω (για να βρεις την τιμή 1/10) χρησιμοποιείς το σωστό.
Αλλά .... το σκέφτηκα 12 ώρες αργότερα.

Φιλικά,

Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Νοέμ 21, 2009 9:36 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ερώτηση: στο forum του μαθηματικού Αθηνών δεν μπορεί να γραφτεί ο οποιοσδήποτε; Προσπσθώ να γραφτώ και όταν πάω να κάνω submit μου λέει "Το email που δώσατε δεν έχει μία έγκυρη MX εγγραφή".
Μήπως υπάρχουν καταχωρημένα μόνο τα email των φοιτητών και δίνεται η δυνατότητα πρόσβασης μόνο σε αυτούς;
.....ε...;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1306
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Νοέμ 22, 2009 1:21 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Μήπως υπάρχουν καταχωρημένα μόνο τα email των φοιτητών και δίνεται η δυνατότητα πρόσβασης μόνο σε αυτούς;
Όχι δεν νομίζω να ισχύει κάτι τέτοιο... 'Ισως να ήταν στιγμιαία κακή λειτούργια του συστήματος ή να ξέχασες κάτι... Ξαναδοκίμασες χωρίς επιτυχία ?


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Νοέμ 22, 2009 1:29 pm

smar έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Μήπως υπάρχουν καταχωρημένα μόνο τα email των φοιτητών και δίνεται η δυνατότητα πρόσβασης μόνο σε αυτούς;
Όχι δεν νομίζω να ισχύει κάτι τέτοιο... 'Ισως να ήταν στιγμιαία κακή λειτούργια του συστήματος ή να ξέχασες κάτι... Ξαναδοκίμασες χωρίς επιτυχία ?
μόλις ξαναδοκίμασα και μου βγάζει το ίδιο πράμα.....μάλλον δε με έχουν φίλο.... :roll:
Μα τι τους έκανα...; :cry:


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Νοέμ 22, 2009 7:47 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
smar έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Μήπως υπάρχουν καταχωρημένα μόνο τα email των φοιτητών και δίνεται η δυνατότητα πρόσβασης μόνο σε αυτούς;
Όχι δεν νομίζω να ισχύει κάτι τέτοιο... 'Ισως να ήταν στιγμιαία κακή λειτούργια του συστήματος ή να ξέχασες κάτι... Ξαναδοκίμασες χωρίς επιτυχία ?
μόλις ξαναδοκίμασα και μου βγάζει το ίδιο πράμα.....μάλλον δε με έχουν φίλο.... :roll:
Μα τι τους έκανα...; :cry:
Ντάξει!! Τα κατάφερα!!! Για όποιον αντιμετωπίσει το ίδιο πρόβλημα...ΔΕ δέχεται λογαριασμό από gmail... :shock: Όταν έβαλα έναν του yahoo...όλα οκ!!!


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2578
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Φεβ 07, 2010 7:31 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
smar έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Μήπως υπάρχουν καταχωρημένα μόνο τα email των φοιτητών και δίνεται η δυνατότητα πρόσβασης μόνο σε αυτούς;
Όχι δεν νομίζω να ισχύει κάτι τέτοιο... 'Ισως να ήταν στιγμιαία κακή λειτούργια του συστήματος ή να ξέχασες κάτι... Ξαναδοκίμασες χωρίς επιτυχία ?
μόλις ξαναδοκίμασα και μου βγάζει το ίδιο πράμα.....μάλλον δε με έχουν φίλο.... :roll:
Μα τι τους έκανα...; :cry:
Ντάξει!! Τα κατάφερα!!! Για όποιον αντιμετωπίσει το ίδιο πρόβλημα...ΔΕ δέχεται λογαριασμό από gmail... :shock: Όταν έβαλα έναν του yahoo...όλα οκ!!!

Εγώ πάντως αναστάση είχα και έχω σύνδεση εκεί με λογαριασμό gmail. Μάλλον κάτι άλλο "παίζει". Αφού τα κατάφερες πάντως Ό.Κ.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8600
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Φεβ 07, 2010 8:39 pm

Nick1990 έγραψε: 1) Ισχυει οτι ενα απειροαθροισμα μονονυμων παραγοντοποιειται σε παραγοντες της μορφης (χ - ρ_κ), οπου ρ_κ, κ=1,2,... ειναι οι ριζες του? Ισχυει οτι οι τυποι vieta επεκτεινονται σε πολυωνυμικα απειροαθροισματα? Αν πραγματι ισχυουν ολα αυτα, τοτε μπορουμε να τα αποδειξουμε καπως? η μηπως μπορουμε να πουμε οτι ολα αυτα ειναι προφανη λογο του οτι καθε τετοιο απειροαθροισμα ειναι οριο ακολουθιας πολυωνυμων?
Η απάντηση είναι όχι. Έστω ότι η f είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη με ρίζες x_1,x_2,\dots. Θα ήθελες να γράψεις \displaystyle{f(z) = \prod_{n=1}^{\infty} (z - x_i)}. Ας αγνοήσουμε προς το παρόν αν το γινόμενο συγκλίνει ή όχι. (Έχω την εντύπωση πως δεν συγκλίνει.) Όμως και η συνάρτηση g(z) = e^zf(z) έχει ακριβώς τις ίδιες ρίζες. Σίγουρα λοιπόν δεν μπορούν και οι δύο να ισούνται με το \displaystyle{  \prod_{n=1}^{\infty} (z - x_i) }.

Ούτε οι τύποι του Vieta ισχύουν. Για παράδειγμα πιο κάτω λες ότι ίσως να ισχύει ότι το άθροισμα των αντιστρόφων των ριζών του a_0 + a_1z + \cdots να ισούται με -a_1/a_0. Όμως τότε το άθροισμα των ριζών του e^z(a_0 + a_1z + \cdots) = a_0 + (a_0 + a_1)z + \cdots θα ισούνταν με -(a_0 + a_1)/a_0, άτοπο αφού οι δυο συναρτήσεις έχουν ακριβώς τις ίδιες ρίζες.

Αυτό που ισχύει είναι το Weierstrass Factorization Theorem.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8600
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 08, 2010 1:32 pm

Demetres έγραψε:
Nick1990 έγραψε: 1) Ισχυει οτι ενα απειροαθροισμα μονονυμων παραγοντοποιειται σε παραγοντες της μορφης (χ - ρ_κ), οπου ρ_κ, κ=1,2,... ειναι οι ριζες του? Ισχυει οτι οι τυποι vieta επεκτεινονται σε πολυωνυμικα απειροαθροισματα? Αν πραγματι ισχυουν ολα αυτα, τοτε μπορουμε να τα αποδειξουμε καπως? η μηπως μπορουμε να πουμε οτι ολα αυτα ειναι προφανη λογο του οτι καθε τετοιο απειροαθροισμα ειναι οριο ακολουθιας πολυωνυμων?
Η απάντηση είναι όχι.
Ισχύει κάτι παρόμοιο όμως αν η συνάρτηση είναι τάξης μικρότερης του 1. Δείτε εδώ: viewtopic.php?f=9&t=5388


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Δευ Φεβ 08, 2010 3:48 pm

Καλησπερα σας, εψαχνα προχτες να βρω μια αποδειξη στο οτι το αθροισμα των αντιστροφων των τετραγωνων των φυσικων αριθμων ειναι π^2/6 και βρηκα το παρακατω:
Δεν ξέρω αν έχει αναφερθεί στο forum αλλά παραθέτω κάτι εξαιρετικά ενδιαφέρον.
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{2}\sum_{k=-\infty\;,k\neq 0}^{\infty}\frac{1}{k^2}=-\frac{1}{2}\textbf{Res}\left(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2};z=0\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{-\pi^2}{3}=\frac{\pi^2}{6}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8600
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 08, 2010 4:43 pm

Mancar Camoran έγραψε:
Καλησπερα σας, εψαχνα προχτες να βρω μια αποδειξη στο οτι το αθροισμα των αντιστροφων των τετραγωνων των φυσικων αριθμων ειναι π^2/6 και βρηκα το παρακατω:
Δεν ξέρω αν έχει αναφερθεί στο forum αλλά παραθέτω κάτι εξαιρετικά ενδιαφέρον.
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{2}\sum_{k=-\infty\;,k\neq 0}^{\infty}\frac{1}{k^2}=-\frac{1}{2}\textbf{Res}\left(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2};z=0\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{-\pi^2}{3}=\frac{\pi^2}{6}.
Κοίταξε την απόδειξη 8 στον σύνδεσμο που έβαλε ο Γρηγόρης εδώ: viewtopic.php?f=9&t=914&hilit=zeta

Κοιτάξτε επίσης και εδώ: viewtopic.php?f=57&t=911


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ιδιοτητες πολυωνυμων σε σειρες taylor.

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Ιουν 14, 2012 9:48 pm

Ας δούμε κι εδώ σελίδα 13. Και οι δυο λύσεις επικαλούνται το θεώρημα παραγοντοποίησης του Weierstrass.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Θα δώσω μία υπόδειξη: Δες εκείνη την απόδειξη που βρίσκει το \Sigma \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} μέσω των αντιστρόφων των ριζών της cotx = 0.
Χρησιμοποιεί πεπερασμένα αθροίσματα, τα φράσει αριστερά και δεξιά, και παίρνει όριο.
Αν θυμάμαι καλά, η απόδειξη αυτή υπάρχει και στη wikipedia.

Παραλλαγή αυτής της απόδειξης δίνει και το ζητούμενο.

Αυτά για τώρα.
Δάσκαλε αν έχεις λύση με αυτή τη στοιχειώση μέθοδο θα με ενδιέφερε πολύ να τη δω!


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες